Les cosets en théorie des groupes | Algèbre abstraite

Table of Contents

1. Introduction
2. Définition des cosets
3. Exemples finis de coset
4. Coefficients des cosets à droite
5. Coefficients des cosets à gauche
6. La partition des cosets
7. Preuve que deux cosets identiques ont des éléments en commun
8. Exemples de cosets infinis
9. Cosets des entiers dans les réels additives
10. Implications et applications des cosets

Introduction

Les cosets sont une notion importante en théorie des groupes. Dans cet article, nous explorerons la définition des cosets, ainsi que quelques exemples pour mieux comprendre leur utilisation. Nous montrerons également la partition des cosets dans un groupe donné et prouverons qu'en présence d'éléments en commun, deux cosets sont en fait identiques. Enfin, nous examinerons des exemples de cosets infinis et leurs applications.

1. Définition des cosets

Dans un groupe G, un coset est créé en prenant un élément de G et en le composant avec tous les éléments d'un sous-groupe H. Selon que la composition se fait à gauche ou à droite, on obtient respectivement des cosets à gauche et à droite. Les cosets sont des sous-ensembles de G et peuvent être représentés par des notations de la forme H a ou a H.

2. Exemples finis de coset

Nous commencerons par quelques exemples de cosets finis. Considérons le groupe G des entiers ajoutés modulo 4 et le sous-groupe H contenant les éléments 0 et 2. En utilisant l'addition à droite, nous pouvons créer des cosets en combinant un élément de G avec tous les éléments de H. Par exemple, en ajoutant 1, nous obtenons le coset H + 1 = {1, 3}. En ajoutant 3, nous obtenons le même coset H + 3 = {1, 3}. Si nous créons un coset en utilisant 0, nous obtenons le sous-groupe lui-même, H + 0 = {0, 2}.

3. Coefficients des cosets à droite

Dans la plupart des cas, nous travaillerons avec des cosets à droite. En utilisant un élément fixe de G et en le combinant avec tous les éléments de H à droite, nous obtiendrons les cosets correspondants. Il est important de comprendre que les éléments des cosets ne doivent pas nécessairement appartenir au sous-groupe H, mais ils font tous partie du groupe G. Par conséquent, chaque coset est un sous-ensemble de G.

4. Coefficients des cosets à gauche

En utilisant un élément fixe de G et en le combinant avec tous les éléments de H à gauche, nous pouvons créer des cosets à gauche. Encore une fois, il est important de noter que chaque coset est un sous-ensemble de G.

5. La partition des cosets

Les cosets d'un sous-groupe H dans un groupe G partitionnent le groupe G. Cela signifie que chaque élément de G appartient à un coset et que si deux cosets sont distincts, ils sont mutuellement disjoints. Cette partition est une propriété générale des cosets et sera prouvée dans un article ultérieur.

6. Preuve que deux cosets identiques ont des éléments en commun

Nous allons maintenant prouver que si deux cosets ont un élément en commun, ils sont en fait identiques. Supposons que a soit un élément du coset H b. Par définition, cela signifie que a = h1 b pour un certain élément h1 du sous-groupe H. Pour montrer que les cosets H a et H b sont identiques, nous devons prouver que chaque élément de H a est également un élément de H b et vice versa. La preuve complète sera présentée dans un article ultérieur.

7. Exemples de cosets infinis

Nous avons jusqu'à présent examiné des exemples de cosets finis, mais les cosets peuvent également être infinis. Par exemple, si nous prenons le groupe G des réels additives et que les entiers sont un sous-groupe, nous pouvons créer le coset des entiers en ajoutant 0,5 à droite. Cela donnerait une infinité de cosets, chacun étant un décalage de tous les entiers par 0,5.

8. Cosets des entiers dans les réels additives

Dans l'exemple précédent, nous avons vu que les cosets des entiers dans les réels additives sont simplement des entiers décalés par un nombre réel. Ce modèle se répète pour tous les cosets des entiers, où chaque coset est un décalage des entiers par un nombre réel spécifique.

9. Implications et applications des cosets

Les cosets sont une notion puissante en théorie des groupes et ont de nombreuses applications. Ils permettent de mieux comprendre la structure et les propriétés des groupes. Par exemple, les cosets peuvent être utilisés pour étudier les sous-groupes, montrer l'existence de sous-groupes normaux et prouver des théorèmes importants tels que le théorème de Lagrange.

FAQ

Q: Que se passe-t-il si le coset d'un groupe a des éléments en commun avec un autre coset?
R: Si deux cosets ont des éléments en commun, cela signifie qu'ils sont en fait identiques. C'est un résultat important de la théorie des cosets.

Q: Quelle est l'importance de la partition des cosets?
R: La partition des cosets est importante car elle permet de regrouper les éléments du groupe G en ensembles distincts et disjoints. Cela facilite l'analyse et l'étude des propriétés du groupe.

Q: Existe-t-il des cas où les cosets ne constituent pas une partition de G?
R: Non, les cosets d'un sous-groupe H dans un groupe G forment toujours une partition de G. C'est une propriété fondamentale des cosets.

Ressources

• Wikipedia - Groupe (mathématiques)
• Mathématiques Symfony