Cossets: Compreenda a estrutura do grupo na Teoria dos Grupos

Cossets: Compreenda a estrutura do grupo na Teoria dos Grupos

📑Índice:

1. Introdução
2. Definição de Cossenos
3. Exemplos de cosset finito
4. Cosset infinito
5. Partição de cossets
6. Prova da igualdade de cossets
7. Implicações dos cossets
8. Conclusão

📝Introdução:

Neste artigo, iremos explorar tudo sobre os cossets na Teoria dos Grupos e descobrir a importância dessa definição e os resultados que surgem a partir dela. Você ficará surpreso com o quão interessante e significativos são esses conceitos. Vamos começar compreendendo a definição de cosset e ver alguns exemplos práticos.

📝Definição de Cossenos:

Em um grupo G, temos um subgrupo H. Para qualquer elemento X em G, denotamos XH como o conjunto de todos os produtos xh, onde X permanece fixo e H varia sobre o subgrupo H. Nesse caso, chamamos xh de um cosset esquerdo de H no grupo G. De forma análoga, podemos definir um cosset direito de H no grupo G. Em notação de construção de conjunto, as definições de cosset à esquerda e cosset à direita são as seguintes:

• Cosset à esquerda de H: XH = {xh | x pertence a G e h pertence a H}
• Cosset à direita de H: HX = {hx | x pertence a G e h pertence a H}

É importante lembrar que X pode ser qualquer elemento do grupo G, mas o cosset é criado tomando cada elemento do subgrupo H e multiplicando-o pelo elemento do grupo X. Podemos fazer a multiplicação de X à esquerda para obter um cosset à esquerda ou fazer a multiplicação de X à direita para obter um cosset à direita. Na prática, não importa se vamos falar sobre cossets à esquerda ou cossets à direita, é mais importante sermos consistentes. Qualquer resultado provado sobre cossets à esquerda pode ser provado análogamente para cossets à direita. Neste artigo, iremos principalmente falar sobre cossets à direita, onde nosso elemento fixo do grupo é composto à direita.

Exemplos de cosset finito:

Vamos começar com um exemplo finito. Consideremos o grupo G como os inteiros aditivos módulo 4 e o subgrupo H como o conjunto {0, 2}. Verifique facilmente que H é um subgrupo de G. Agora, podemos criar cossets de H em G, escolhendo qualquer um dos quatro elementos de G: 0, 1, 2, 3. Vamos começar com o elemento 1 e criar um cosset à direita de H em G usando o elemento 1. Queremos combinar 1 com todos os elementos do subgrupo H, e estamos combinando 1 à direita. Não importa neste caso, pois a adição é comutativa, mas em outros casos, isso pode importar. Vamos olhar para o cosset H + 1. Em notação aditiva, isso significa que estamos usando a adição para criar o cosset. O que isso nos dará? Vamos olhar para os elementos de H e adicionar 1 à direita, é isso que produz nosso cosset. Primeiro temos 0 e 0 + 1 é apenas 1. Então temos 2 e 2 + 1 é apenas 3. Este é o nosso cosset, o cosset à direita de H com 1 no grupo G.

Se criarmos um cosset à direita adicionando 3, o que isso nos dará? Teremos 0 + 3, que é igual a 3, e teremos 2 + 3, que é igual a 5, mas módulo 4 é apenas 1. Então, você vê que, de fato, obtemos a mesma coisa que antes, o conjunto contendo 1 e 3. Esse padrão é verdadeiro em geral, se temos um cosset que tem algum elemento x, se pegarmos aquele elemento para criar outro cosset, os cossets serão o mesmo conjunto.

Cosset infinito:

Vamos agora explorar um exemplo com conjuntos infinitos. Podemos tomar o grupo G como o grupo aditivo dos números reais e os inteiros como subgrupo. Agora, vamos olhar para o cosset dos inteiros criado pela adição de 0.5 à direita. O que obtemos é simplesmente todos os inteiros deslocados por 0.5. O 0 é deslocado para 0.5, o 1 é deslocado para 1.5, o -1 é deslocado para -0.5 e assim por diante. Este é apenas um exemplo de um cosset infinito. Como mencionamos anteriormente, se pegarmos qualquer elemento deste cosset e usá-lo para criar outro cosset, teremos exatamente a mesma coisa. Isso é válido para todos os elementos do cosset. Os cossets de H nos reais aditivos são semelhantes aos inteiros, mas são deslocados para cima ou para baixo pelo número real usado para criar o cosset.

Partição de cossets:

Uma descoberta importante sobre os cossets é que eles dividem o grupo G em partições. Todo elemento do grupo está em um dos cossets e, se dois cossets são distintos, eles são completamente disjuntos, ou seja, não têm elementos em comum. Isso não é apenas uma coincidência, pois os cossets sempre dividem um grupo em partições. Para um grupo G e um subgrupo H, os cossets H_a conforme a variação de a em G irão criar uma partição de G. Usamos a notação G mod H para denotar o conjunto de todos os cossets de H no grupo G. Este é um resultado muito importante e iremos prová-lo em um vídeo futuro.

Prova da igualdade de cossets:

Agora, vamos provar algo que mencionamos várias vezes ao longo deste artigo, que se dois cossets têm um elemento em comum, eles devem ser exatamente os mesmos cossets. Em outras palavras, se a é um elemento do cosset H_b, então o cosset H_a é igual ao cosset H_b. Precisamos entender que se a é um elemento do cosset H_b, pela definição de cosset, isso significa que a é igual a H_1 vezes b, para algum elemento H_1 do subgrupo H. Começamos a prova mostrando que H_a está contido em H_b, para isso, vamos pegar um elemento arbitrário de H_a e mostrar que também é um elemento de H_b. Começamos tomando um elemento arbitrário X no cosset H_a. Pela definição de cosset, isso significa que X é igual a H_2 vezes a, para algum elemento H_2 do subgrupo H. No entanto, com base na nossa suposição de que a é um elemento do cosset H_b, sabemos que a é igual a algum elemento de H, H_1 vezes b. Então, se X é igual a H_2 vezes a, também deve ser igual a H_2 vezes H_1 vezes b, que, pela associatividade da operação do grupo, é o mesmo que H_2 H_1 vezes b. Esse elemento é, pela definição de cosset, um elemento de H_b, pois é o produto de dois elementos de H. Portanto, nosso elemento arbitrário X do cosset H_a é um elemento de H_b, pois é igual a um elemento de H vezes b. Portanto, o cosset H_a está contido em H_b. Agora, vamos provar que H_b está contido em H_a.

Começamos pegando um elemento arbitrário Y no cosset H_b. Queremos mostrar que isso é um elemento de H_a. Pela definição de cosset, isso significa que Y é igual a H_3 vezes b, para algum elemento H_3 do subgrupo H. Neste ponto, gostaríamos de substituir b por algo em termos de a, assim como fizemos na etapa anterior, substituindo a por algo em termos de b. Podemos fazer isso se voltarmos à nossa suposição original. Supomos como parte da hipótese deste teorema que a é um elemento do cosset H_b e isso significa que a é igual a H_1 vezes b, para algum elemento do subgrupo H. Agora, subgrupos têm inversos, porque os subgrupos são eles próprios grupos. Portanto, isso também significaria que H_1 inverso vezes a é igual a H_1 inverso vezes H_1, que é apenas a identidade vezes b, ou seja, é igual a b. Portanto, encontramos uma expressão para b em termos de a. Voltando à prova, sabemos que Y é igual a H_3 vezes b, mas b é igual a H_1 inverso vezes a, então Y é igual a H_3 vezes H_1 inverso vezes a. Novamente, pela associatividade da operação de grupo, isso é o mesmo que H_3 vezes H_1 inverso vezes a, e novamente, temos dois elementos do subgrupo H sendo compostos, o que também deve ser um elemento de H, uma vez que é um subgrupo. Então, temos um elemento de H vezes a, que, pela definição do cosset H_a, deve ser um elemento de H_a. Portanto, mostramos que qualquer elemento arbitrário do cosset H_b também é um elemento do cosset H_a. Portanto, o cosset H_b está contido em H_a.

Assim, provamos que H_a está contido em H_b e que H_b está contido em H_a, o que implica que os cossets são iguais, como desejado. Este simples resultado tem algumas boas implicações e vamos usá-lo para provar um grande teorema, o Teorema de Lagrange, em um futudo vídeo.

Implicações dos cossets:

Uma das implicações interessantes dos cossets é que, para um grupo G e um subgrupo H, H + 0 é o único cosset que contém o zero. Se algum outro cosset tiver zero, então pelo resultado que acabamos de provar, ele deve ser igual ao cosset H + 0. Lembre-se de que zero é apenas a identidade nesse caso. Portanto, isso significa que, uma vez que H + 0 é o único cosset que tem a identidade, H + 0 é o único cosset em G que também é um subgrupo. Qualquer outro cosset, por não ter a identidade, não pode ser um subgrupo. De fato, sabemos que H + 0 será sempre um subgrupo, pois H é um subgrupo e H + 0, por definição, é igual a H.

Conclusão:

Espero que esta introdução aos cossets tenha sido útil e interessante. Como mencionei, existem vários resultados importantes que provaremos em relação aos cossets, culminando no Teorema de Lagrange. Os cossets são uma ferramenta poderosa na Teoria dos Grupos e nos ajudam a entender a estrutura de um grupo e suas partições. Se você tiver alguma dúvida, por favor, deixe nos comentários. Obrigado por assistir!

🔍 Destaques:

• Os cossets são definidos como a combinação de um elemento do grupo com cada elemento de um subgrupo.
• Os cossets podem ser à esquerda ou à direita, dependendo da ordem da combinação.
• Os cossets criam uma partição do grupo, onde cada elemento pertence a apenas um cosset.
• Se dois cossets têm um elemento em comum, eles são exatamente os mesmos cossets.
• O cosset que contém o elemento neutro é o único cosset que também é um subgrupo.

❓ FAQ:

Q: Como os cossets ajudam a entender a estrutura de um grupo? R: Os cossets criam partições no grupo, permitindo que estudemos as relações entre os elementos e os subgrupos.

Q: Por que os cossets são importantes na Teoria dos Grupos? R: Os cossets são uma ferramenta fundamental para entender grupos e suas propriedades. Eles nos permitem analisar a estrutura do grupo e estudar suas propriedades.

Q: Quais são as implicações dos cossets em relação à identidade do grupo? R: Os cossets nos mostram que o cosset que contém a identidade é o único cosset que também é um subgrupo. Isso nos ajuda a entender a estrutura do grupo e suas diferentes partes.