Teselagem: mais fácil do que você imagina

Índice

1. Introdução
2. O que é um teselado?
3. Formas que podem teselar
   • 3.1. Teselando com uma única forma
   • 3.2. Teselando com várias formas juntas
4. O desafio do teselado
5. Por que as formas teselam?
   • 5.1. Formas de quatro lados
   • 5.2. Formas de três lados
   • 5.3. Formas de mais de quatro lados
6. A descoberta dos pentágonos teselados
   • 6.1. Carl Reinhardt: Os primeiros cinco pentágonos
   • 6.2. Kirchner e a descoberta de três novos pentágonos
   • 6.3. A descoberta de Marjorie Rice e além
   • 6.4. O mistério dos pentágonos teselados
7. Hexágonos teselados
   • 7.1. Três hexágonos teselados
   • 7.2. Nenhum teselado para sete ou mais lados
8. Conclusão
9. FAQ
10. Referências

O Fascinante Mundo dos Teselados

🔎 Introdução

Você já ouviu falar sobre teselados? Essas figuras geométricas que cobrem uma superfície sem deixar lacunas podem ser surpreendentes. Neste artigo, vamos explorar o mundo dos teselados, entender como eles funcionam e desvendar alguns mistérios por trás dessas formas intrigantes.

🧩 O que é um teselado?

Um teselado, também conhecido como pavimento ou mosaico, é uma forma de cobrir uma superfície com uma ou mais formas geométricas de modo que elas se encaixem perfeitamente, sem deixar nenhum espaço vazio. Pode ser feito utilizando-se uma única forma ou combinando várias formas diferentes.

🔺 Formas que podem teselar

Existem diferentes tipos de formas que podem teselar uma superfície. Vamos explorar as duas principais abordagens: teselar com uma única forma e teselar com várias formas juntas.

💡 Teselando com uma única forma

Uma maneira de teselar é usando uma única forma repetidamente para cobrir a superfície. Por exemplo, um triângulo equilátero pode se encaixar perfeitamente quando repetido em um padrão hexagonal. O mesmo pode ser feito com outros polígonos regulares, como quadrados ou hexágonos.

⭐ Pros:

• Simplicidade no padrão de teselagem
• Possibilidade de criar designs simétricos e harmoniosos

⛔ Cons:

• Restrição na variedade de formas resultantes

🧩 Teselando com várias formas juntas

Outra abordagem é combinar diferentes formas geométricas para criar um teselado complexo. Por exemplo, é possível combinar hexágonos regulares e triângulos equiláteros para formar um padrão de teselagem interessante. Essa abordagem oferece mais flexibilidade e abertura para explorar diferentes combinações.

⭐ Pros:

• Maior variedade de formas resultantes
• Possibilidade de criar padrões únicos e visualmente deslumbrantes

⛔ Cons:

• Complexidade aumentada na criação do padrão de teselagem

🌟 O desafio do teselado

Testar suas habilidades de teselagem pode ser um desafio divertido. Imagine alguém oferecendo mil dólares se você conseguir recortar uma forma de quatro lados que tesela em menos de 10 segundos. Será que você conseguiria? A verdade é que existem várias formas que podem teselar de maneira simples e rápida.

🔬 Por que as formas teselam?

Você já se perguntou por que algumas formas podem teselar e outras não? A resposta está nos ângulos internos das formas. Quando os ângulos se somam a 360 graus, as formas se encaixam perfeitamente. Isso acontece tanto com formas de quatro lados quanto com formas de três lados.

🔺 Formas de quatro lados

Quando se trata de formas de quatro lados, qualquer forma com bordas retas pode ser usada para teselar. Isso ocorre porque a soma dos ângulos internos sempre resulta em 360 graus. Portanto, basta girar cada forma em 180 graus em relação à anterior para criar o padrão de teselagem.

🔺 Formas de três lados

As formas de três lados, também conhecidas como triângulos, também podem teselar. Assim como as formas de quatro lados, a soma dos ângulos internos sempre totaliza 360 graus. Portanto, ao girar cada forma de três lados em 180 graus em relação à anterior, é possível teselar toda a superfície.

🔻 Formas de mais de quatro lados

E quanto a formas com ângulos internos que somam mais de 360 graus? Essas formas também podem teselar? No caso dos pentágonos, por exemplo, a soma dos ângulos internos é de 540 graus, o que normalmente impediria a teselagem. No entanto, ao criar uma forma de pentágono especial, como o formato de uma casa, é possível ajustar os ângulos de forma que a teselagem seja possível.

✨ A descoberta dos pentágonos teselados

A história por trás da descoberta dos pentágonos teselados é fascinante. Em 1918, o matemático Carl Reinhardt encontrou os primeiros cinco pentágonos que podem teselar. Mais tarde, em 1968, o cientista Kirchner descobriu três novos tipos. No entanto, em 1975, um cientista da computação descobriu que a prova de Kirchner estava incorreta, levando à identificação de um nono tipo de pentágono teselado. Desde então, outras descobertas foram feitas, mas o mistério de quantos pentágonos teselados existem permanece.

🔺 Hexágonos teselados

Os hexágonos também são figuras geométricas que podem teselar. Em 1918, o mesmo Carl Reinhardt que descobriu os pentágonos teselados identificou apenas três tipos de hexágonos que podem teselar. Acredita-se que atualmente existam apenas esses três tipos de hexágonos que podem se encaixar perfeitamente. Por outro lado, formas com sete ou mais lados não são capazes de teselar.

💡 Conclusão

Os teselados são um fascinante campo da geometria que nos permite explorar padrões, simetria e criatividade. Eles podem ser criados utilizando-se uma única forma ou combinando diferentes formas juntas. As formas que teselam têm ângulos internos que somam 360 graus, permitindo seu encaixe perfeito. A descoberta dos pentágonos e hexágonos teselados é um exemplo emocionante de como a matemática pode revelar segredos escondidos nas formas geométricas.

🌐 Referências

• Action Lab: The Fascinating World of Tessellations

FAQ

❓ P: Quais são os benefícios de usar teselados na arte e no design? R: Os teselados podem ser usados para criar designs visualmente atraentes, simétricos e harmoniosos. Eles também podem ser usados para representar efeitos de ilusão de ótica e criar padrões interessantes em superfícies.

❓ P: Existem teselados em formas curvas? R: Geralmente, os teselados são baseados em formas com lados retos. No entanto, existem algumas formas curvas, como os círculos, que também podem ser utilizadas para teselar quando combinadas de maneira adequada.

❓ P: Qual é a importância dos teselados na arquitetura? R: Os teselados desempenham um papel importante na arquitetura, permitindo a criação de padrões decorativos em pisos, paredes e tetos. Esses padrões podem adicionar beleza e complexidade aos espaços arquitetônicos.

❓ P: Posso criar meus próprios teselados? R: Certamente! A criação de teselados é uma atividade divertida e criativa. Você pode experimentar diferentes formas geométricas, cores e padrões para desenvolver seus próprios designs únicos.

❓ P: O que é um teselado MC Escher? R: M.C. Escher foi um famoso artista que ficou conhecido por suas obras de arte baseadas em teselados. Ele explorou a ilusão de ótica e a percepção visual em suas criações, utilizando teselados complexos e intrigantes.

❓ P: Os teselados têm aplicações na matemática além da arte e do design? R: Sim, os teselados têm diversas aplicações na matemática, como na teoria dos grafos, na criptografia e na geometria fractal. Eles também são amplamente estudados e explorados como objetos matemáticos fascinantes em si mesmos.