Testa din intuition: Födelsedagsproblemet i matematik

Innehållsförteckning:

1. Introduktion
2. Varför är vår intuition så fel?
3. Beräkningen av ingen matchning
4. Antalet möjliga par
5. Vilket är det magiska numret?
6. Förklaring och förståelse av födelsedagsproblemet
7. Andra intressanta tillämpningar av matematik
8. Slutsats
9. Referenser

🎉 Varför är vår intuition så fel?

Föreställ dig en grupp människor. Hur stor tror du att gruppen måste vara innan det är mer än 50% chans att två personer i gruppen har samma födelsedag? Förutsätt för diskussionens skull att det inte finns några tvillingar, att varje födelsedag är lika trolig och att skottår ignoreras. Ta en stund och fundera på det. Svaret kan verka överraskande lågt. I en grupp på 23 personer finns det en 50,73% chans att två personer delar samma födelsedag. Men med 365 dagar på ett år, hur är det möjligt att du behöver en så liten grupp för att få jämna odds för en delad födelsedag?

Varför vår intuition är felaktig

För att förstå svaret, låt oss titta på ett sätt en matematiker kan beräkna oddsen för en födelsedagsmatch. Vi kan använda oss av en matematisk disciplin som kallas för kombinatorik, vilken behandlar sannolikheterna för olika kombinationer. Första steget är att vända på problemet. Att försöka beräkna oddsen för en match direkt är utmanande eftersom det finns många sätt att få en födelsedagsmatch i en grupp. Istället är det lättare att beräkna oddsen för att alla har olika födelsedagar. Hur hjälper det oss? Antingen finns det en födelsedagsmatch i gruppen eller så gör det inte. Oddsen för en match och oddsen för ingen match måste addera upp till 100%.Det innebär att vi kan hitta sannolikheten för en match genom att subtrahera sannolikheten för ingen match från 100.

Beräkning av ingen match

För att beräkna oddsen för ingen match börjar vi smått. Beräkna oddsen för att bara ett par människor har olika födelsedagar. En dag på året kommer att vara person A:s födelsedag, vilket lämnar bara 364 möjliga födelsedagar för person B. Sannolikheten för olika födelsedagar för A och B, eller något par av människor, är 364 av 365, vilket är ungefär 0,997 eller 99,7%, ganska högt. Ta in person C. Sannolikheten att hon har en unik födelsedag i denna lilla grupp är 363 av 365, eftersom två födelsedagar redan har räknats med av A och B. D:s odds blir 362 av 365, och så vidare, hela vägen ner till W:s odds på 343 av 365. Multiplicera alla dessa termer tillsammans, och du får sannolikheten att ingen har samma födelsedag. Detta blir då 0,4927, så det finns en 49,27% chans att ingen i gruppen av 23 personer delar födelsedag. När vi subtraherar det från 100 får vi en 50,73% chans att åtminstone en födelsedagsmatch inträffar, bättre än jämna odds.

Antalet möjliga par

Nyckeln till en så hög sannolikhet för en match i en relativt liten grupp är det förvånansvärt stora antalet möjliga par. När en grupp växer blir antalet möjliga kombinationer mycket större. En grupp om fem personer har tio möjliga par. Varje person kan paras ihop med någon av de andra fyra. Hälften av dessa kombinationer är överflödiga eftersom att para person A med person B är samma sak som att para B med A, så vi delar på två. Av samma resonemang har en grupp på tio personer 45 par och en grupp på 23 har 253. Antalet par växer kvadratiskt, vilket innebär att det är proportionellt med kvadraten av antalet människor i gruppen. Tyvärr är våra hjärnor notoriskt dåliga på att intuitivt fånga icke-linjära funktioner. Så det verkar osannolikt till en början att 23 personer kan producera 253 möjliga par. När våra hjärnor accepterar det, börjar födelsedagsproblemet att bli mer begripligt.

Vilket är det magiska numret?

Varför är det då så stor sannolikhet att få en match i en relativt liten grupp? Svaret är det överraskande stora antalet möjliga par. Varje en av de 253 paren är en chans till en födelsedagsmatch. På grund av samma anledning, i en grupp av 70 personer, finns det 2415 möjliga par och sannolikheten att två personer har samma födelsedag är över 99,9%. Födelsedagsproblemet är bara ett exempel där matematik kan visa att saker som verkar omöjliga, som samma person som vinner lotteriet två gånger, faktiskt inte är osannolikt alls. Ibland är sammanträffanden inte så slumpmässiga som de verkar.

Andra intressanta tillämpningar av matematik

Det finns många andra fascinerande tillämpningar av matematik i vardagen. Matematiken kan användas för att förstå sannolikheter, mätningar, mönster och mycket annat. Från att beräkna odds för vissa händelser till att optimera lösningar inom olika områden, finns det en mångfald av möjligheter som matematiken erbjuder. Det är en disciplin som har haft en djup inverkan i vår värld och fortsätter att vara ett kraftfullt verktyg för att förstå och lösa problem inom en mängd olika områden.

Slutsats

Så, även om vår intuition kanske är felaktig ibland, kan vi använda matematiken för att beräkna oddsen för olika händelser och för att förstå komplexa fenomen som födelsedagsproblemet. Genom att använda verktyg som kombinatorik och statistik kan vi få en djupare kunskap om hur sannolikheter fungerar och applicera denna kunskap på olika områden i livet. Matematiken ger oss insikten att även det som verkar omöjligt faktiskt kan vara ganska troligt. Så, nästa gång du står inför en uppgift som verkar svår eller osannolik, kom ihåg att det finns en matematisk metod för att förstå och lösa det.

Referenser

• Wikipedia: Birthday problem

Bilder:

• Hämtade från Unsplash