概率入門︰樣本空間及樹狀圖
目錄
- 什麼是概率?
- 事件的概率計算公式
- 什麼是樣本空間?
- 用樹狀圖計算樣本空間
- 圖示例子:拋兩個硬幣的樣本空間
- 圖示例子:拋三個硬幣的樣本空間
- 概率的範圍:0到1
- 概率的含義和計算
- 例子:選擇駕駛藍色汽車的概率
- 擲骰子的概率計算
- 例子:拋兩個硬幣至少得到一個正面的概率計算
- 例子:拋三個硬幣至少得到兩個反面的概率計算
- 例子:拋三個硬幣得到一個反面的概率計算
- 例子:擲骰子得到2的概率計算
- 例子:擲骰子得到3或5的概率計算
- 例子:擲骰子得到小於等於4的概率計算
- 例子:擲骰子得到大於3的概率計算
- 例子:擲骰子得到小於等於5的概率計算
什麼是概率?🔍
在這節課中,我們要談談概率。那麼,什麼是概率?例如,也許你見過類似 𝑝(𝐴) 這樣的表示方式,它是什麼意思?這表示事件 𝐴 發生的概率。
計算一個事件發生的概率,等於這個事件有利的結果(即導致事件 𝐴 發生的結果)的數量除以所有可能結果的總數。
在我們進一步舉例說明如何計算概率之前,我們需要談談一個叫做「樣本空間」的概念。樣本空間基本上是指可以發生的所有可能結果的集合。
舉個例子來說,如果我們拋一個公平硬幣,那麼可能的結果只有兩種:正面或反面。這種情況下的樣本空間就是「正面」或「反面」。
現在,如果我們想要拋兩個硬幣,可能的結果有哪些呢?為了幫助我們得出答案,我們可以創建一個稱為「樹狀圖」的圖表。
在第一次拋硬幣時,有兩種可能性:正面或反面。假設在第一次拋硬幣時我們得到了正面,那麼在第二次拋硬幣時,我們又有兩種可能性:正面或反面。同樣地,如果我們在第一次拋硬幣時得到了反面,那麼在第二次拋硬幣時,我們也有兩種可能性:正面或反面。所以,我們共有四種可能的結果,即「正面+正面」、「正面+反面」、「反面+正面」和「反面+反面」。
這就是拋兩個硬幣的樣本空間。讓我們練習一下,如果我們要拋三個硬幣,樣本空間是什麼?請暫停視頻,自己試試用樹狀圖來計算。
一共可以得到八個可能的結果,所以拋三個硬幣的樣本空間有八個可能的結果。
現在讓我們來繼續討論如何計算概率的問題。概率的值始終介於0和1之間,如果概率等於0,意味著該事件永遠不會發生,如果概率等於1,則意味著該事件將永遠發生,即100的概率。
例如,如果事件 𝐴 發生的概率為0.3,那麼0.3乘以100等於30,這意味著事件發生的概率為30%。
舉個例子來說,假設一個城市的人口中,開藍色汽車的人的概率是0.20。這意味著如果您隨機選擇100個人,大約有20人開藍色汽車;如果您隨機選擇1000個人,則大約有200人開藍色汽車。
以上是一些關於概率計算的簡單例子,現在讓我們來看看另一個問題。
假設我們拋一個六面骰子,要得出數字「2」的概率是多少?首先,我們需要列出可能的結果,也就是骰子的六個面數字。所以可能的結果是從「1」到「6」,而我們想要得到的數字是「2」,所以只有一個有利的結果。因此,我們有一個有利的結果,加上六個可能的結果,總共有六個可能的結果。所以得到數字「2」的概率是1/6,換算成小數是約0.167。
現在來看問題的第二部分,要得到數字「3」或「5」的概率是多少?我們有兩個有利的結果(數字「3」和「5」),加上六個可能的結果,總共有六個可能的結果。所以得到數字「3」或「5」的概率是2/6,簡化後是1/3,換算成小數是約0.333。
現在來看問題的第三部分,要得到不大於「4」的數字的概率是多少?讓我們列出有利的結果,也就是數字「1」、「2」、「3」和「4」,總共有四個有利的結果。再加上六個可能的結果,總共有六個可能的結果。所以得到不大於「4」的數字的概率是4/6,換算成小數是約0.667。
現在來看問題的第四部分,要得到大於「3」的數字的概率是多少?讓我們列出有利的結果,也就是數字「4」、「5」和「6」。一共有三個有利的結果。再加上六個可能的結果,總共有六個可能的結果。所以得到大於「3」的數字的概率是3/6,簡化後是1/2,換算成小數是0.5。
最後來看問題的第五部份,要得到不大於「5」的數字的概率是多少?所以有六個有利的結果,加上六個可能的結果,總共有六個可能的結果。所以得到不大於「5」的數字的概率是5/6,換算成小數是約0.833。
這就是如何計算概率的一些建議,希望對你有所幫助。如果你想了解更多關於概率的知識,請查看我的統計學播放列表,裡面有更多關於概率計算、相關事件、條件概率等主題的視頻。或者,你也可以在YouTube上搜索「The Organic Chemistry Tutor」以及條件概率等關鍵詞,就能找到相關視頻。感謝觀看!