群論：陪集的重要概念

目錄

1. 引言
2. 定義
   • 2.1 左側陪集
   • 2.2 右側陪集
3. 創建陪集的例子
   • 3.1 有限集合的例子
   • 3.2 無限集合的例子
4. 陪集的性質
   • 4.1 陪集的分割性質
   • 4.2 陪集的等價性
5. 陪集的應用
   • 5.1 Group Theory
   • 5.2 Number Theory
   • 5.3 Cryptography
6. 拉格朗日定理
7. 總結
8. 參考資料

引言

今天我們要學習有關群論中的陪集(co-sets)。我相信您會對這個定義及其帶來的結果感到驚訝。不久之後，我們將對具有素數個元素的每個群達到完全理解，因此這是一些非常酷的東西。在這個視頻中，我們將研究陪集的定義，並給出一些例子，包括有限的和無限的例子。我們還將介紹一些關於陪集的重要結果，並且我們將進行一個簡單的證明，證明如果兩個陪集有共同的元素，則它們必須實際上是相同的陪集。讓我們開始吧！

2. 定義

在群論中，給定一個群 G 和它的子群 H，對於群 G 中的任意元素 X，我們定義 XH 為集合 {xh | x ∈ G, h ∈ H}，稱之為群 G 中的左側陪集。同樣地，我們可以定義群 G 中的右側陪集 XH，以及相應的集合符號表示。重要的是要記住，X 可以是群 G 中的任意元素，但是陪集是通過將子群 H 的每個元素乘以群元素 X 的方式來創建的。我們可以將乘法放在左側以得到左側陪集，或者放在右側以得到右側陪集。實際上，討論左陪集或右陪集並不重要，更重要的是我們要保持一致，對於任何關於左陪集的結果，我們也可以類比地得到右陪集的結果。在本視頻中，我們將主要討論右陪集，其中固定的群元素位於右側。由於 X 可以是群 G 中的任何元素，而陪集中的元素可能不屬於子群 H，但肯定屬於群 G，因為 H 中的每個元素都在 G 中，而 X 也在 G 中，所以當我們觀察包含這些元素的陪集時，這些元素 HX 也將在 G 中。因此，G 中的每個陪集肯定是 G 的一個子集。

3. 創建陪集的例子

讓我們從一個有限集合的例子開始吧。假設我們的群 G 是模 4 的加法整數集合，而子群 H 是包含 0 和 2 的集合。容易驗證 H 就是 G 的子群。當然，模 4 的加法整數包含 0、1、2 和 3，因此我們可以從這四個元素中選擇任何一個來開始創建 G 中 H 的陪集。讓我們從元素 1 開始創建一個右陪集。我們想要將 1 與子群 H 中的每個元素組合在一起，我們是在右側進行組合，因為在這種情況下，加法是可交換的，所以不管使用左陪集還是右陪集並不重要。根據陪集的定義，我們使用加法符號表示陪集，因此這個陪集可以表示為 H + 1。讓我們看一下這個陪集包含哪些元素。首先是 0，0 + 1 = 1；然後是 2，2 + 1 = 3。所以這就是我們得到的右陪集，包含 1 和 3。接下來，讓我們使用 3 創建一個右陪集，這會給我們什麼結果呢？我們有 0 + 3 = 3，然後是 2 + 3 = 5，但是模 4 下這就等於 1。所以結果是相同的，我們得到了包含 1 和 3 的集合。這樣的模式是普遍性的，如果一個陪集有一些元素，那麼如果我們使用這個元素創建另一個陪集，那麼這兩個陪集將是相同的。換句話說，如果兩個陪集有共同的元素，它們實際上就是同一個陪集。這是我們稍後要證明的一個結果，但是在此之前，讓我們再做一個例子，以保持一致，我們通常使用右陪集，但是為了展示另一種可能性，我們也來看一個左陪集。如果我們觀察 2 + H，即子群 H 在 G 中的左陪集，這會是什麼呢？我們只需要將 2 與 H 的每個元素結合在一起，所以 2 + 0 = 2，然後是 2 + 2 = 4，根據模 4 的定義，這就等於 0。這個集合包含 2 和 0，事實上就是子群 H 本身。當然，如果我們觀察以 0 為左側元素創建的陪集，由於 0 是這個群的恆等元素，這實際上就是 H 本身。在這裡要注意的一個重要事項是，我們的陪集實際上是對群的一個分割，群中的每個元素都屬於其中一個陪集，而如果兩個陪集是不同的，則它們是完全不相交的，這兩個陪集不僅是不相同的，它們完全沒有共同的元素。這是一個分割，這不是巧合，這總是成立的，陪集將對群進行分割。對於群 G 和子群 H，H A 當 A 遍歷 G 時，H A 是 G 中所有陪集的集合，我們通常使用紅色的 G mod H 這種表示方法來表示子群 H 在群 G 中的所有陪集的集合，這是一個非常重要的結果，我們將在未來的視頻中證明這一點，我將在描述中放一個鏈接。

文章

🔍 陪集：理解群論中的重要概念

群論是數學中一個重要且充滿挑戰性的領域。在群論中，陪集（co-sets）是一個核心概念，它對理解群的結構和性質起著關鍵作用。通過學習和理解陪集的定義和性質，我們可以更好地理解群論的許多結果和定理。

1️⃣ 引言

陪集是由群中的一個固定元素和子群中的所有元素相乘（左側陪集），或與子群中的所有元素相乘（右側陪集）而形成的集合。這個概念的重要性在於它將群的結構分解為若干等價的部分，並幫助我們更好地理解群的操作和性質。

在本文中，我們將深入探討陪集的定義、創建陪集的方法和陪集的性質。我們還將介紹陪集在群論中的應用以及它們與拉格朗日定理的關聯。

讓我們開始吧！

2️⃣ 定義

在群 G 中，假設 H 是 G 的一個子群。對於 G 的任意元素 X，我們定義 XH 為“固定元素 X 乘以子群 H 的所有元素”的集合，稱之為 G 中的左側陪集。同樣地，我們可以定義右側陪集 XH。這兩種陪集都是 G 的子集，並且由於 H 是 G 的子群，陪集中的元素一定屬於 G。

值得注意的是，陪集的生成不依賴於先後順序。也就是說，使用樂符$\times$表示陪集時，我們可以說“G 中的陪集 XH 是由 H 中的每個元素與 X 相乘得到的”，也可以說“G 中的陪集 HX 是由 X 與 H 中的每個元素相乘得到的”。這兩種表示方法的結果是相同的。

由於群的操作不一定可交換，選擇使用左側陪集還是右側陪集並不重要。重要的是要在討論陪集時保持一致，在所有關於左側陪集的結果中，我們也可以得出對應的右側陪集的結果。

陪集的定義如下:

左側陪集: $XH = {xh | x \in G, h \in H}$

右側陪集: $HX = {hx | x \in G, h \in H}$

陪集是群 G 的子集，而不一定是子群。然而，在特定情況下，陪集也可以是子群。這種情況下的陪集稱為齊次陪集（coset subgroups），我們將在以後的章節中進一步討論。

3️⃣ 創建陪集的例子

接下來，我們將通過一些例子來更好地理解陪集的概念。

3.1 有限集合的例子

讓我們考慮一個有限的例子。假設我們的群 G 是模 4 的加法整數集合，子群 H 是由 0 和 2 這兩個元素組成的集合。我們可以從 G 的四個元素中選擇一個作為陪集的起點。

讓我們以元素 1 為例，我們將創建一個右側陪集。我們將將元素 1 與子群 H 中的每個元素相乘。根據陪集的定義，我們使用加法符號表示陪集，即 H + 1。我們可以計算出 H + 1 的每個元素：0 + 1 = 1，2 + 1 = 3。因此，我們得到的右側陪集是 {1, 3}。

接下來，我們以元素 3 為例，創建另一個右側陪集。我們計算 H + 3 的每個元素：0 + 3 = 3，2 + 3 = 5。然而，根據模 4 的定義，5 ≡ 1 (mod 4)。因此，我們得到的右側陪集與之前的陪集相同，都是 {1, 3}。

這種模式是普遍性的。如果一個陪集包含某個元素，那麼使用這個元素創建的陪集將與之前的陪集相同。換句話說，如果兩個陪集有共同的元素，則它們實際上是相同的陪集。

3.2 無限集合的例子

接下來，讓我們考慮一個無限集合的例子。假設我們的群 G 是實數的加法群，子群 H 是所有整數的集合。讓我們以 0.5 + H 為例，創建一個右側陪集。這個陪集包含所有整數，但它們都向上（或向下）偏移了 0.5。例如，整數 0 被偏移到 0.5，整數 1 被偏移到 1.5，負整數 -1 被偏移到 -0.5，以此類推。這個無限陪集的特點是，它將整數的集合平移了 0.5 個單位，但保持了整數之間的相對距離。

正如我們之前提到的，如果我們選擇陪集中的任何元素來創建另一個陪集，則這兩個陪集將相等。簡單地說，這意味著，每個陪集的元素之間的關係是相同的。

這些例子概括了陪集的基本思想和性質。通過創建陪集，我們將群 G 分割為若干等價的集合，並且陪集的元素之間有著固定的關係。

4️⃣ 陪集的性質

陪集具有一些重要的性質，這些性質幫助我們更好地理解群的操作和結構。

4.1 陪集的分割性質

對於群 G 和子群 H，H 在 G 中的陪集形成了 G 的一個分割。這意味著每個群元素都屬於其中一個陪集，並且如果兩個陪集不相等，則它們是完全不相交的。這是因為，如果兩個陪集有共同的元素，那麼它們實際上是相同的陪集。

陪集的分割性質使我們能夠將群分解為若干等價的部分，並且在每個部分中，當我們應用群的操作時，元素之間的關係保持不變。這對於研究群和證明各種結果非常有用。

4.2 陪集的等價性

如果兩個陪集具有共同的元素，那麼它們將是相等的。換句話說，如果 HX 和 HY 具有共同的元素，則 HX = HY。這一性質可以通過特定陪集的定義來證明。

假設 a 是陪集 HY 中的一個元素，那麼根據陪集的定義，a 可以表示為 a = h1 y，其中 h1 是子群 H 的一個元素。在這種情況下，a 可以表示為 a = h1 (h2 x) = (h1h2) x，其中 h2 是子群 H 的另一個元素，x 是群 G 的一個元素。由於 h1h2 是子群 H 的一個元素，所以 a 屬於 HX。這意味著 HY 中的所有元素都屬於 HX。同樣地，假設 b 是陪集 HX 中的一個元素，則我們可以得到同樣的結果，即 HY 中的所有元素都屬於 HX。因此，HY 和 HX 具有相同的元素，它們必須是相等的陪集。

這個性質的重要性在於它證明了如果兩個陪集有共同的元素，那麼它們將是完全相同的陪集。這將在一些證明中發揮關鍵作用，同時也展示了陪集的等價性。

5️⃣ 陪集的應用

陪集在群論中有許多應用，它們有助於理解群的結構和性質，並在許多數學和科學領域中發揮作用。

5.1 群論

陪集是群論中的一個核心概念。通過研究陪集的性質和關係，我們可以得出許多重要的結果和定理，並且這些結果和定理將對計算機科學、數學基礎和理論物理學等領域產生重大影響。陪集的分割性質和等價性使陪集成為群論研究中的一個強大工具。

5.2 數論

陪集理論在數論中具有重要的應用。特別是，陪集計算和陪集分解在解決數論中的一些重要問題時非常有用。陪集的分割性質和等價性使得我們能夠對數論問題進行有效的建模和求解。

5.3 密碼學

陪集的概念和性質在密碼學中也發揮著重要作用。特別是，在研究和設計密碼算法時，陪集理論提供了對群和子群之間關係的理解和分析。這對於開發安全的密碼系統至關重要。

6️⃣ 拉格朗日定理

拉格朗日定理是關於陪集的一個重要結果。該定理聲稱：對於有限群 G 和它的子群 H，H 在 G 中的陪集的個數等於 G 的元素個數除以 H 的元素個數。這個定理具有重要的應用，它讓我們能夠研究有限群的結構和性質。

拉格朗日定理的證明超出了本文的範圍，但它是陪集理論中的一個重要結果，值得進一步學習和理解。

7️⃣ 總結

在本文中，我們介紹了陪集在群論中的重要性和應用。我們討論了陪集的定義和性質，並通過一些例子深入了解了它們的工作原理。我們也提到了陪集在群論、數論和密碼學中的應用，以及陪集與拉格朗日定理的關聯。

陪集是群論中一個核心概念，它幫助我們理解群的結構和性質，並在體現數學的各個領域中發揮著重要作用。通過進一步研究陪集的定義、分割性質和等價性，我們可以更好地應用它們來解決問題和證明結果。

希望這篇文章能幫助您更好地理解陪集的概念和性質，並激發您對群論的興趣。如果您有任何問題或需要進一步的解釋，請在下方留言。

8️⃣ 參考資料

1. "陪集 - 群論基礎 | 蔡式酷數學"，[https://mathcs.richmond.edu/~cekk/math380fall2003...
2. "陪集 - 維基百科"，[https://zh.wikipedia.org/wiki/陪集]
3. Dummit, David S., et al. "Abstract Algebra." Wiley, 2004.