暑期数学复习：八年级几何学

目录

1. 引言
2. 基本几何概念
   • 2.1 坐标平面
   • 2.2 三角形的映射变换
   • 2.3 矩形的映射变换
3. 三角形的映射变换问题
   • 3.1 选择A：沿x轴翻转，再沿y轴翻转
   • 3.2 选择B：向下平移八个单位，再沿y轴翻转
   • 3.3 选择C：沿x轴翻转，再向左平移六个单位
   • 3.4 选择正确的答案
4. 矩形的映射变换问题
   • 4.1 选择A：沿y轴翻转，再缩放一半
   • 4.2 选择B：沿y轴翻转，再沿x轴翻转
   • 4.3 选择C：向左平移八个单位，再缩放一半
   • 4.4 选择D：向左平移八个单位，再顺时针旋转九十度
   • 4.5 选择正确的答案
5. 新三角形ABC的坐标
6. 结论
7. FAQ
8. 参考资料

引言

在几何学中，我们经常遇到各种各样的变换问题。通过对坐标平面中几何图形的映射变换，我们可以研究它们之间的关系，以及如何将一个图形变换为另一个图形。本文将探讨三角形和矩形的映射变换问题，并给出详细的解答和解释。

基本几何概念

2.1 坐标平面

在几何学中，我们通常使用坐标平面来表示图形的位置和形状。坐标平面由x轴和y轴组成，x轴是水平方向，y轴是垂直方向。平面上的点可以用(x, y)的坐标表示，其中x是点在x轴上的投影，y是点在y轴上的投影。通过使用坐标平面，我们可以方便地描述和操作几何图形。

2.2 三角形的映射变换

在几何学中，通过一系列的映射变换，我们可以将一个三角形变换为与之全等的另一个三角形。常见的三角形映射变换包括平移、翻转和旋转。平移是将图形沿着x轴和y轴的方向移动一定的距离，翻转是将图形关于一个轴镜像对称，旋转是将图形绕一个点旋转一定的角度。

2.3 矩形的映射变换

与三角形类似，我们也可以对矩形进行映射变换。矩形的映射变换包括平移、翻转和缩放。平移是将图形沿着x轴和y轴的方向移动一定的距离，翻转是将图形关于一个轴镜像对称，缩放是通过改变图形的长和宽，使其变为原来的倍数。

三角形的映射变换问题

3.1 选择A：沿x轴翻转，再沿y轴翻转

根据题目所给的信息，我们需要找到一个变换序列，将三角形A映射到与之全等的三角形B。选择A表示先沿x轴翻转，然后沿y轴翻转。我们可以通过计算坐标来验证这个选择是否正确：

• A点的坐标是(2, 2)。如果我们先沿x轴翻转，那么新的A点坐标将会是(2, -2)。然后再沿y轴翻转，新的A点坐标将会是(-2, -2)。根据给定的坐标，我们得到的结果与三角形B的坐标不匹配。因此，选择A是错误的。

3.2 选择B：向下平移八个单位，再沿y轴翻转

选择B表示先向下平移八个单位，然后沿y轴翻转。我们可以通过计算坐标来验证这个选择是否正确：

• A点的坐标是(2, 2)。如果我们向下平移八个单位，新的A点坐标将会是(2, -6)。然后再沿y轴翻转，新的A点坐标将会是(2, 6)。根据给定的坐标，我们发现这个结果与三角形B的坐标是完全相同的。因此，选择B是正确的。

3.3 选择C：沿x轴翻转，再向左平移六个单位

选择C表示先沿x轴翻转，然后向左平移六个单位。我们可以通过计算坐标来验证这个选择是否正确：

• A点的坐标是(2, 2)。如果我们先沿x轴翻转，那么新的A点坐标将会是(2, -2)。然后再向左平移六个单位，新的A点坐标将会是(-4, -2)。根据给定的坐标，我们得到的结果与三角形B的坐标不匹配。因此，选择C是错误的。

3.4 选择正确的答案

通过上面的验证，我们可以得出结论，选择B：向下平移八个单位，再沿y轴翻转是将三角形A映射到与之全等的三角形B的正确选择。

矩形的映射变换问题

4.1 选择A：沿y轴翻转，再缩放一半

选择A表示先沿y轴翻转，然后缩放一半。我们可以通过计算坐标来验证这个选择是否正确：

• A'点的坐标是(-1, 2)。如果我们先沿y轴翻转，那么新的A'点坐标将会是(1, 2)。然后再缩放一半，新的A'点坐标将会是(0.5, 1)。根据给定的坐标，我们发现这个结果与矩形A'B'C'D'的顶点坐标是完全相同的。因此，选择A是正确的。

4.2 选择B：沿y轴翻转，再沿x轴翻转

选择B表示先沿y轴翻转，然后沿x轴翻转。我们可以通过计算坐标来验证这个选择是否正确：

• A'点的坐标是(-1, 2)。如果我们先沿y轴翻转，那么新的A'点坐标将会是(1, 2)。然后再沿x轴翻转，新的A'点坐标将会是(1, -2)。根据给定的坐标，我们得到的结果与矩形A'B'C'D'的顶点坐标不匹配。因此，选择B是错误的。

4.3 选择C：向左平移八个单位，再缩放一半

选择C表示先向左平移八个单位，然后缩放一半。我们可以通过计算坐标来验证这个选择是否正确：

• A'点的坐标是(-1, 2)。如果我们先向左平移八个单位，新的A'点坐标将会是(-9, 2)。然后再缩放一半，新的A'点坐标将会是(-4.5, 1)。根据给定的坐标，我们得到的结果与矩形A'B'C'D'的顶点坐标不匹配。因此，选择C是错误的。

4.4 选择D：向左平移八个单位，再顺时针旋转九十度

选择D表示先向左平移八个单位，然后顺时针旋转九十度。我们可以通过计算坐标来验证这个选择是否正确：

• A'点的坐标是(-1, 2)。如果我们先向左平移八个单位，新的A'点坐标将会是(-9, 2)。然后再顺时针旋转九十度，新的A'点坐标将会是(2, -9)。根据给定的坐标，我们发现这个结果与矩形A'B'C'D'的顶点坐标是完全相同的。因此，选择D是正确的。

4.5 选择正确的答案

通过上面的验证，我们可以得出结论，选择D：向左平移八个单位，再顺时针旋转九十度是将矩形ABCD映射到与之全等的矩形A'B'C'D'的正确选择。

新三角形ABC的坐标

根据选择B的结果，我们知道新三角形ABC的坐标为：

• A点的坐标是(4, 4)
• B点的坐标是(8, 8)
• C点的坐标是(-8, 4)

因此，新三角形ABC的顶点坐标为A(4, 4)，B(8, 8)，C(-8, 4)。

结论

通过对三角形和矩形的映射变换问题的分析和解答，我们得出了正确的选择和相应的坐标计算。映射变换是几何学中重要的概念，通过研究和理解变换的原理，我们可以更好地理解图形之间的关系，并解决各种几何问题。

FAQ

问：为什么选择A是错误的？

答：选择A中提到了沿x轴翻转和沿y轴翻转，但结果与预期不符。对A进行沿x轴翻转后，必须进行正确的沿y轴翻转才能得到与B相同的形状，但选择A中的顺序是错误的。

问：为什么选择C是错误的？

答：选择C中提到了沿x轴翻转和向左平移六个单位，但计算结果与预期不符。对A进行沿x轴翻转后，向左平移六个单位不会得到与B相同的形状。

问：为什么选择B是正确的？

答：选择B的顺序先进行向下平移八个单位，再沿y轴翻转，与目标形状B的坐标完全匹配。因此，选择B是正确的。

问：为什么选择D是正确的？

答：选择D的顺序先进行向左平移八个单位，再顺时针旋转九十度，与目标形状B的坐标完全匹配。因此，选择D是正确的。

问：什么是缩放因子？

答：缩放因子是用于描述图形大小变化的比例因子。当缩放因子大于1时，图形会放大；当缩放因子小于1时，图形会缩小。

参考资料

• 链接1：几何学入门
• 链接2：三角函数基础知识