Homotopiekategorie in Modellkategorien erklärt

Inhaltsverzeichnis

1. Homotopie in Modellkategorien
2. Die Kategorie host(c)
3. Homotopieklassen von Morphismen
4. Homotopiekategorie von c
5. Das Problem der Komposition
6. Das Weißkopf-Theorem für Modellkategorien
7. Der Lokalisierungsfunktor
8. Die Homotopiekategorie als Lokalisierung
9. Vibration und Kofibration Kategorien
10. Homotopiefasersequenzen

Homotopie in Modellkategorien

In Modellkategorien betrachten wir die Homotopie bezogene Aspekte. Die Homotopie bezieht sich auf die Äquivalenz von Abbildungen, die sich durch stetige Deformation voneinander unterscheiden. In einer Modellkategorie werden Objekte als fibröse oder kofibröse Objekte klassifiziert, wobei diese beiden Klassen die Kategorien der schwachen Äquivalenzen bilden.

Die Kategorie host(c)

Die Kategorie host(c) wird als die Kategorie der Objekte in c definiert, die sowohl fibrös als auch kofibrös sind. Die Morphismen in host(c) sind Homotopieklassen von Morphismen in c, wobei Homotopieklassen als Äquivalenzklassen von Morphismen definiert sind.

Homotopieklassen von Morphismen

Homotopieklassen von Morphismen sind Äquivalenzklassen von Morphismen, wobei die Homotopie durch stetige Deformation definiert ist. Die Komposition von Homotopieklassen erfolgt durch die Zusammensetzung der Vertreter dieser Klassen.

Homotopiekategorie von c

Die Homotopiekategorie von c wird als host(c) bezeichnet und ist die Kategorie, die aus den Homotopieklassen von Morphismen in c besteht. Die Homotopiekategorie zwingt schwache Äquivalenzen, zu Isomorphismen zu werden, und ermöglicht es uns, die Homotopie bezogenen Aspekte von c zu betrachten.

Das Problem der Komposition

Das Problem bei der Definition der Homotopiekategorie besteht darin, dass die Komposition von Homotopieklassen nicht eindeutig ist. Es gibt jedoch eine eindeutige Homotopieklasse als Zusammensetzung von Repräsentanten der Klassen. Dieses Problem wird durch die Definition von Homotopieklassen als Äquivalenzklassen gelöst.

Das Weißkopf-Theorem für Modellkategorien

Das Weißkopf-Theorem besagt, dass in Modellkategorien eine schwache Äquivalenz zwischen CW-Komplexen eine Homotopie-Äquivalenz impliziert. Ein CW-Komplex ist sowohl fibrös als auch kofibrös und daher können wir das Weißkopf-Theorem als Erweiterung dieses Ergebnisses auf Modellkategorien betrachten.

Der Lokalisierungsfunktor

Der Lokalisierungsfunktor ist ein Funktor, der die ursprüngliche Modellkategorie auf die entsprechende Homotopiekategorie abbildet. Er wählt die Vertreter der Homotopieklassen als Bilder der Morphismen in der Homotopiekategorie.

Die Homotopiekategorie als Lokalisierung

Die Homotopiekategorie wird als Lokalisierung der zugrunde liegenden Kategorie mit schwachen Äquivalenzen definiert. Dies bedeutet, dass alle schwachen Äquivalenzen in der Homotopiekategorie zu Isomorphismen werden. Diese Lokalisierung ist einzigartig bis auf natürliche Isomorphie und erfüllt die Universalitätseigenschaft.

Vibration und Kofibration Kategorien

Die Kategorie der fibrösen Objekte in einer Modellkategorie wird als Vibrationskategorie bezeichnet, während die Kategorie der kofibrösen Objekte als Kofibrationskategorie bezeichnet wird. Diese beiden Unterkategorien erben die Struktur einer Kategorie von schwachen Äquivalenzen von der ursprünglichen Modellkategorie.

Homotopiefasersequenzen

Homotopiefasersequenzen sind Sequenzen von Abbildungen, die die Eigenschaft haben, dass die Faser (Kernel) der zweiten Abbildung eine schwache Äquivalenz ist. Diese Sequenzen spielen eine wichtige Rolle in der Homotopietheorie und eröffnen einen Einblick in die Homotopie bezogene Struktur der Modellkategorie.