Calcul 1 - Introduction aux limites en mathématiques

Table des matières

• Introduction aux limites
• Évaluation analytique des limites
• Évaluation graphique des limites
• Exemple 1 : Limite lorsque x approche de 2
• Exemple 2 : Limite lorsque x approche de 5
• Exemple 3 : Limite lorsque x approche de 3
• Exemple 4 : Limite complexe avec fractions
• Exemple 5 : Limite avec une racine carrée
• Exemple 6 : Limite d'une fraction complexe avec des radicaux
• Évaluation graphique des limites

Introduction aux limites

Les limites sont utilisées en mathématiques pour décrire le comportement d'une fonction lorsque la variable indépendante approche d'une valeur spécifique. Elles sont essentielles pour comprendre le calcul et l'analyse de fonctions. Il existe différentes méthodes pour évaluer les limites, à la fois analytiquement et graphiquement.

Évaluation analytique des limites

L'évaluation analytique des limites consiste à substituer une valeur spécifique dans l'expression de la fonction et à simplifier l'expression pour trouver la limite. Parfois, une valeur directe peut être substituée pour trouver la limite, mais dans d'autres cas, des techniques de simplification supplémentaires, telles que le factoring, peuvent être nécessaires.

Exemple 1 : Limite lorsque x approche de 2

Dans cet exemple, nous souhaitons trouver la limite de la fonction (x^2 - 4) / (x - 2) lorsque x approche de 2. En substituant directement la valeur 2, nous obtenons une indétermination (0/0). Nous devons donc utiliser d'autres techniques pour trouver la limite.

Une méthode consiste à calculer la valeur de la fonction pour des valeurs proches de 2, mais pas exactement 2. Par exemple, en calculant la valeur de la fonction pour x = 1.9, nous obtenons une valeur proche de 4.1. À mesure que nous nous rapprochons de 2, la limite approche de 4. Par conséquent, nous pouvons conclure que la limite de cette fonction lorsque x approche de 2 est égale à 4.

Exemple 2 : Limite lorsque x approche de 5

Dans cet exemple, nous voulons trouver la limite de la fonction (x^2 + 2x - 4) lorsque x approche de 5. Comme il n'y a pas de fraction et la valeur de x ne provoque pas d'indétermination, nous pouvons utiliser la substitution directe.

En substituant simplement la valeur 5 dans l'expression de la fonction, nous obtenons un résultat de 35. Par conséquent, la limite de cette fonction lorsque x approche de 5 est de 35.

Exemple 3 : Limite lorsque x approche de 3

Dans cet exemple, nous souhaitons trouver la limite de la fonction (x^3 - 27) / (x - 3) lorsque x approche de 3. En substituant directement la valeur 3, nous obtenons une indétermination (0/0). Nous devons donc utiliser d'autres techniques pour trouver la limite.

En factorisant l'expression x^3 - 27, nous obtenons (x - 3)(x^2 + 3x + 9). En annulant le facteur (x - 3), nous pouvons simplifier l'expression et utiliser la substitution directe pour trouver la limite. Ainsi, la limite de cette fonction lorsque x approche de 3 est de 27.

Évaluation graphique des limites

L'évaluation graphique des limites consiste à observer la tendance de la fonction sur un graphique lorsque la variable indépendante approche de la valeur spécifiée. En identifiant la valeur de y correspondante sur le graphique, nous pouvons déterminer la limite.

Dans l'exemple de la limite lorsque x approche de -3, nous observons que la fonction a une valeur de 1 lorsque nous approchons -3 depuis le côté gauche et une valeur de 3 lorsque nous approchons -3 depuis le côté droit. Étant donné que ces deux valeurs ne correspondent pas, nous pouvons conclure que la limite lorsque x approche de -3 n'existe pas.

Lorsque x est exactement -3, le graphique présente un trou. Ce trou est une discontinuité amovible, car nous pourrions combler le trou en assignant une valeur à cette position en particulier.

Dans l'exemple de la limite lorsque x approche de 3 à droite et à gauche, nous observons que la fonction se rapproche de l'infini négatif lorsqu'elle approche de 3 depuis la gauche et de l'infini positif lorsqu'elle approche de 3 depuis la droite. Étant donné que ces deux valeurs ne correspondent pas, la limite lorsque x approche de 3 n'existe pas.

Conclusion

Les limites sont un concept essentiel en mathématiques pour comprendre le comportement des fonctions. Il existe différentes méthodes pour évaluer les limites, à la fois analytiquement et graphiquement. En utilisant ces méthodes, nous pouvons déterminer les valeurs de limites et comprendre comment les fonctions se comportent pour différentes valeurs de la variable indépendante.