Détermination de la nature des racines d'une Équation Quadratique

Table des matières

1. Introduction
2. Comprendre l'équation quadratique
3. La nature des racines de l'équation quadratique
4. Méthode du discriminant
5. Le discriminant positif et racines réelles et distinctes
6. Le discriminant positif et racines réelles et égales
7. Le discriminant nul et racine réelle unique
8. Le discriminant négatif et pas de racines réelles
9. Exemple 1 : Nature des racines d'une équation quadratique
10. Exemple 2 : Nature des racines d'une équation quadratique
11. Exemple 3 : Nature des racines d'une équation quadratique

Introduction

Bienvenue dans cette leçon sur la nature des racines d'une équation quadratique. Dans cette leçon, vous apprendrez à déterminer si les racines d'une équation quadratique sont réelles, rationnelles, irrationnelles ou non réelles. Nous utiliserons la méthode du discriminant pour effectuer cette détermination. Commençons par comprendre ce qu'est une équation quadratique.

Comprendre l'équation quadratique

Une équation quadratique est une équation de la forme ax^2 + bx + c = 0, où a, b et c sont des coefficients numériques et a ≠ 0. Les racines de l'équation quadratique sont les valeurs de x qui satisfont à l'équation. Ces racines peuvent être réelles ou non réelles, rationnelles ou irrationnelles. La méthode du discriminant nous permet de déterminer exactement la nature de ces racines.

La nature des racines de l'équation quadratique

La nature des racines d'une équation quadratique dépend de la valeur du discriminant, qui est calculé à l'aide de l'expression Δ = b^2 - 4ac. Nous pouvons utiliser les valeurs du discriminant pour déterminer si les racines sont réelles, rationnelles, irrationnelles ou non réelles.

Méthode du discriminant

La méthode du discriminant consiste à évaluer la valeur du discriminant Δ pour déterminer la nature des racines d'une équation quadratique. Voici les différentes possibilités :

Le discriminant positif et racines réelles et distinctes

Si le discriminant est positif et un carré parfait, c'est-à-dire si Δ > 0 et Δ est un carré parfait, alors les racines de l'équation quadratique sont réelles, rationnelles et distinctes. Cela signifie que les solutions de l'équation quadratique sont des valeurs exactes qui peuvent être des nombres entiers ou des fractions.

Le discriminant positif et racines réelles et égales

Si le discriminant est positif mais non un carré parfait, c'est-à-dire si Δ > 0 mais Δ n'est pas un carré parfait, alors les racines de l'équation quadratique sont réelles, irrationnelles et égales. Cela signifie que les solutions de l'équation quadratique sont des valeurs irrationnelles qui incluent une racine carrée positive et négative, par exemple ±√5.

Le discriminant nul et racine réelle unique

Si le discriminant est nul, c'est-à-dire si Δ = 0, alors il n'y a qu'une seule racine réelle pour l'équation quadratique. Cela signifie que les solutions de l'équation quadratique sont les mêmes.

Le discriminant négatif et pas de racines réelles

Si le discriminant est négatif, c'est-à-dire si Δ < 0, alors il n'y a pas de racines réelles pour l'équation quadratique. Cela signifie que les solutions de l'équation quadratique sont des nombres non réels, également appelés nombres imaginaires.

Exemple 1 : Nature des racines d'une équation quadratique

Prenons l'équation quadratique suivante : 3x^2 + 4x + 1 = 0. Commençons par trouver la valeur du discriminant en utilisant Δ = b^2 - 4ac. Dans ce cas, a = 3, b = 4 et c = 1. En substituant ces valeurs dans l'expression, nous avons Δ = 4^2 - 4(3)(1) = 16 - 12 = 4. Étant donné que Δ est positif et un carré parfait, les racines de l'équation quadratique sont réelles, rationnelles et distinctes.

Exemple 2 : Nature des racines d'une équation quadratique

Prenons l'équation quadratique suivante : x^2 - 6x + 9 = 0. Calculons le discriminant en utilisant Δ = b^2 - 4ac. Dans ce cas, a = 1, b = -6 et c = 9. En substituant ces valeurs, nous avons Δ = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0. Étant donné que Δ est nul, il n'y a qu'une seule racine réelle pour l'équation quadratique.

Exemple 3 : Nature des racines d'une équation quadratique

Prenons l'équation quadratique suivante : 2x^2 + 5x + 7 = 0. Trouvons la valeur du discriminant en utilisant Δ = b^2 - 4ac. Dans ce cas, a = 2, b = 5 et c = 7. En substituant ces valeurs, nous obtenons Δ = 5^2 - 4(2)(7) = 25 - 56 = -31. Étant donné que Δ est négatif, il n'y a pas de racines réelles pour l'équation quadratique.

Ces exemples illustrent l'utilisation du discriminant pour déterminer la nature des racines d'une équation quadratique. En utilisant cette méthode, vous pouvez résoudre facilement des équations quadratiques et déterminer si les solutions sont réelles, rationnelles, irrationnelles ou non réelles.