La catégorie homotopique: une approche topologique des catégories

Table des matières

1. Introduction
2. Construction d'une catégorie homotopique
3. Composition et homotopie
4. La catégorie homotopique comme localisation
5. Les catégories de vibration et de co-vibration
6. Séquences de fibration homotopiques
7. Propriétés de la localisation functor
8. Résultat clé : correspondance entre les objets
9. Résultat clé : correspondance entre les morphismes
10. Conclusion

Introduction

Dans le domaine des catégories, il y a un concept important appelé la catégorie homotopique. Cette catégorie permet de transformer des équivalences faibles en isomorphismes, ce qui facilite l'étude des propriétés topologiques des objets dans une catégorie donnée. Dans cet article, nous allons explorer la construction d'une catégorie homotopique à partir d'une catégorie modèle, ainsi que les propriétés clés de cette construction.

Construction d'une catégorie homotopique

La construction d'une catégorie homotopique à partir d'une catégorie modèle implique de restreindre les objets de la catégorie modèle aux objets fibrants et cofibrants. Cette restriction permet de capturer les propriétés essentielles pour l'étude des équivalences faibles et des homotopies. Les morphismes dans la catégorie homotopique sont des classes d'équivalence de morphismes dans la catégorie modèle, où deux morphismes sont considérés comme équivalents s'ils sont homotopes.

Composition et homotopie

Dans la catégorie homotopique, la composition de morphismes est définie comme la composition des représentants des classes d'équivalence. Cependant, il est important de noter que cette composition est bien définie au niveau de l'équivalence, car la composition des morphismes homotopes est également homotope. Cette propriété permet d'assurer que la définition de la catégorie homotopique est cohérente et ne dépend pas des représentants choisis.

La catégorie homotopique comme localisation

La catégorie homotopique peut être vue comme une localisation de la catégorie modèle d'origine. Cela signifie qu'elle est une catégorie dans laquelle les équivalences faibles deviennent des isomorphismes. En d'autres termes, chaque morphisme dans la catégorie homotopique qui correspond à une équivalence faible dans la catégorie modèle est un isomorphisme. De plus, cette localisation est universelle dans le sens où elle existe pour toute autre catégorie qui envoie les équivalences faibles vers des isomorphismes.

Les catégories de vibration et de co-vibration

Dans la catégorie homotopique, les objets fibrants sont associés à une catégorie de vibration, tandis que les objets cofibrants sont associés à une catégorie de co-vibration. Ces catégories sont appelées catégories de Brown dans le contexte des objets fibrants et cofibrants. Elles héritent de certaines propriétés de la catégorie modèle d'origine et fournissent des outils utiles pour l'étude des séquences de fibration homotopiques.

Séquences de fibration homotopiques

Les séquences de fibration homotopiques sont des séquences de morphismes dans une catégorie modèle qui représentent des fibrations. Dans la catégorie homotopique, ces séquences deviennent des séquences de morphismes qui représentent également des fibrations. Cette propriété permet de caractériser les objets fibrants dans la catégorie homotopique et d'étudier leurs propriétés topologiques.

Propriétés de la localisation functor

Le functor de localisation qui permet de passer de la catégorie modèle à la catégorie homotopique a plusieurs propriétés importantes. Premièrement, il envoie les objets de la catégorie modèle aux objets correspondants dans la catégorie homotopique. Deuxièmement, il envoie les morphismes de la catégorie modèle aux morphismes correspondants dans la catégorie homotopique, en préservant les propriétés d'homotopie. Enfin, il est unique à un unique isomorphisme près.

Résultat clé : correspondance entre les objets

Dans la catégorie homotopique, il existe une correspondance entre les hom-sets et les hom-sets de la catégorie modèle d'origine modulo les équivalences faibles. Cette correspondance est établie par le functor de localisation et permet de relier les objets et les morphismes dans les deux catégories. Cela facilite l'étude des propriétés topologiques dans la catégorie homotopique en utilisant des techniques de la la catégorie modèle d'origine.

Résultat clé : correspondance entre les morphismes

Dans la catégorie homotopique, chaque carré commutatif est représenté par un carré commutatif correspondant dans la catégorie modèle d'origine. Cette correspondance est établie en utilisant le concept de morphismes homotopes et en choisissant des représentants appropriés pour les classes d'équivalence. Cette propriété permet de capturer les relations entre les morphismes dans la catégorie homotopique et d'étudier leurs propriétés topologiques.

Conclusion

La catégorie homotopique est un outil puissant pour étudier les propriétés topologiques des objets dans une catégorie modèle. Elle permet de transformer les équivalences faibles en isomorphismes et de représenter les propriétés d'homotopie à l'aide de classes d'équivalence. Grâce à la construction d'une catégorie homotopique à partir d'une catégorie modèle, il est possible de simplifier l'étude des objets et des morphismes en se concentrant sur les propriétés essentielles.