Équations linéaires en deux variables

Table des matières

• Introduction
• Définition d'une équation linéaire
• Représentation graphique des équations linéaires
  • Méthode graphique
  • Conditions pour les lignes se croisent ou sont parallèles
  • Exemples de graphiques d'équations linéaires
• Méthodes algébriques pour résoudre les équations linéaires
  • Méthode de substitution
  • Méthode d'élimination
  • Méthode du produit en croix
  • Exemples des méthodes algébriques
• Conclusion

Introduction

Dans ce cours, nous allons explorer les équations linéaires en deux variables. Une équation linéaire est une équation qui peut être représentée par une ligne droite sur un graphique cartésien. Nous apprendrons comment représenter graphiquement les équations linéaires, ainsi que différentes méthodes algébriques pour résoudre ces équations. Commençons par comprendre ce qu'est exactement une équation linéaire.

Définition d'une équation linéaire

Une équation linéaire est une équation qui peut être représentée par une ligne droite sur un graphique cartésien. Elle est généralement écrite sous la forme ax + by = c, où a, b et c sont des constantes réelles et x et y sont les variables. Les équations linéaires en deux variables peuvent avoir plusieurs solutions qui forment une ligne droite sur le graphique cartésien.

Représentation graphique des équations linéaires

Méthode graphique

La méthode graphique est l'une des façons les plus simples de représenter une équation linéaire en deux variables. Pour représenter graphiquement une équation linéaire, nous devons d'abord isoler y dans l'équation pour pouvoir tracer la ligne droite correspondante. Une fois que nous avons isolé y, nous pouvons choisir des valeurs arbitraires pour x, calculer les valeurs correspondantes de y à l'aide de l'équation et tracer les points correspondants sur le graphique. En reliant tous ces points, nous obtenons la ligne droite correspondante à l'équation.

Conditions pour les lignes se croisent ou sont parallèles

Deux équations linéaires en deux variables peuvent se croiser, être parallèles ou représenter la même ligne droite. Si les coefficients a1/a2 et b1/b2 des deux équations sont différents, les lignes correspondantes se croiseront en un seul point et auront une solution unique. Si les coefficients a1/a2 et b1/b2 sont égaux, les lignes seront parallèles et n'auront pas de point d'intersection, ce qui signifie qu'il n'y aura pas de solution.

Exemples de graphiques d'équations linéaires

Reprenons les exemples de ces équations linéaires en deux variables et examinons leurs graphiques respectifs. Dans le premier exemple, nous avons l'équation 2x + 3y = 6. Si nous isolons y dans cette équation, nous obtiendrons y = (6 - 2x) / 3. Maintenant, nous pouvons choisir différentes valeurs arbitraires pour x, calculer les valeurs correspondantes de y et représenter les points sur un graphique. En reliant tous ces points, nous obtenons une ligne droite. Dans le deuxième exemple, nous avons l'équation 4x - 2y = 8. Si nous isolons y dans cette équation, nous obtiendrons y = 2x - 4. Encore une fois, nous pouvons choisir différentes valeurs arbitraires pour x, calculer les valeurs correspondantes de y et représenter les points sur un graphique. En reliant tous ces points, nous obtenons une autre ligne droite. En observant les graphiques, nous pouvons voir que les deux lignes se coupent en un seul point, ce qui signifie qu'elles ont une solution unique.

Méthodes algébriques pour résoudre les équations linéaires

Méthode de substitution

La méthode de substitution est l'une des méthodes algébriques utilisées pour résoudre les équations linéaires en deux variables. Dans cette méthode, nous résolvons l'une des équations pour l'une des variables, puis substituons cette valeur dans l'autre équation pour trouver la valeur de l'autre variable. En résolvant les équations simultanément, nous obtenons les valeurs des deux variables qui satisfont les équations.

Méthode d'élimination

La méthode d'élimination est une autre méthode algébrique pour résoudre les équations linéaires en deux variables. Dans cette méthode, nous ajoutons ou soustrayons les deux équations pour éliminer l'une des variables. Une fois que nous avons éliminé une variable, nous pouvons résoudre l'équation résultante pour trouver la valeur de l'autre variable. En résolvant les équations simultanément, nous obtenons les valeurs des deux variables qui satisfont les équations.

Méthode du produit en croix

La méthode du produit en croix est une autre méthode algébrique pour résoudre les équations linéaires en deux variables. Dans cette méthode, nous multiplions les termes croisés des deux équations pour éliminer l'une des variables. En divisant ensuite, nous pouvons résoudre l'équation résultante pour trouver la valeur de l'autre variable. En résolvant les équations simultanément, nous obtenons les valeurs des deux variables qui satisfont les équations.

Exemples des méthodes algébriques

Reprenons les exemples précédents des équations linéaires en deux variables et utilisons les méthodes algébriques pour résoudre ces équations. Dans le premier exemple, nous avons l'équation x + y = 16 et x - y = 4. En utilisant la méthode de substitution, nous pouvons résoudre ces équations pour trouver les valeurs de x et y. Dans le deuxième exemple, nous avons les équations x + y = 16 et x - y = 4. En utilisant la méthode d'élimination, nous pouvons résoudre ces équations pour trouver les valeurs de x et y. Dans le troisième exemple, nous avons les mêmes équations, mais nous utilisons la méthode du produit en croix pour résoudre ces équations. Dans tous les exemples, nous obtenons les mêmes valeurs pour x et y, ce qui signifie que les méthodes algébriques sont cohérentes avec la méthode graphique.

Conclusion

Dans ce cours, nous avons appris les différentes méthodes de représentation et de résolution des équations linéaires en deux variables. Nous avons compris comment représenter graphiquement les équations linéaires et comment utiliser différentes méthodes algébriques telles que la méthode de substitution, la méthode d'élimination et la méthode du produit en croix pour résoudre ces équations. Les équations linéaires en deux variables sont essentielles en mathématiques et dans de nombreux domaines de la vie quotidienne, et il est important de comprendre comment les résoudre efficacement pour obtenir les bonnes solutions.