誕生日の問題についての直感をチェックしてみよう！

目次

1.1 グループの大きさと同じ誕生日の確率 1.2 数学者が計算する方法 1.3 ノーマッチの確率を計算する 1.4 可能なペアの数の増加 1.5 確率の増加 1.6 誕生日問題の理解

🎂 グループの大きさと同じ誕生日の確率

誕生日が同じ人がいる確率が50％以上になるまでには、グループの大きさはどれくらい必要でしょうか？この議論のために、双子は存在しないものとし、全ての誕生日が同じ確率であり、閏年は無視します。一度考えてみてください。答えは意外に低いと感じるかもしれません。23人のグループでは、2人が同じ誕生日を持つ確率は50.73％です。では、1年には365日あるのに、なぜこんなに小さなグループで共有誕生日のオッズが出るのでしょうか？なぜ私たちの直感は間違っているのでしょうか？答えを見つけるために、数学者が誕生日の一致の確率を計算する方法を見てみましょう。

🔢 数学者が計算する方法

誕生日の一致の確率を計算するのは難しいです。なぜなら、グループで誕生日の一致が生じる方法は多岐にわたるからです。代わりに、誕生日がすべて異なる確率を計算する方が簡単です。それがどのように役立つのでしょうか？グループの中で誕生日が一致するかしないかのどちらかですから、一致する確率と一致しない確率は100％となります。つまり、一致の確率を計算するには、一致しない確率を100から引くことができます。一致しない確率を計算するためには、まず小さな例から始めましょう。

✅ ノーマッチの確率を計算する

まず、2人のグループで誕生日が異なる確率を計算します。1つの年にはAさんの誕生日があるため、Bさんには残りの364日の誕生日があります。AさんとBさんの誕生日が異なる確率は、365のうち364であり、約0.997、または99.7％となります。次に、Cさんを追加します。この小さなグループで彼女がユニークな誕生日を持つ確率は、AさんとBさんの誕生日を除いた365のうち363となります。Dさんの確率は365のうち362であり、依次これを続けていきます。Wさんの確率は365のうち343になります。これらすべての項をかけ合わせると、誰もが誕生日を共有しない確率が得られます。この確率は0.4927です。つまり、23人のグループでは、誰かが誕生日を共有する確率は50.73％となり、偶然の一致のオッズよりも高いです。

📈 可能なペアの数の増加

23人のグループで253の可能なペアが得られる理由は、非常に多くの組み合わせが存在するからです。グループが成長するにつれて、可能な組み合わせの数は非常に速く増えます。5人のグループは10の可能なペアがあります。5人のうちの1人は他の4人とペアになることができます。それらの組み合わせの半分は冗長です。同じ理論によれば、10人のグループは45のペアがあり、23人のグループには253のペアがあります。ペアの数は2乗に比例するため、人数の二乗だけ増えます。私たちの脳は非線形関数を直感的に理解するのが得意ではないため、23人が253の可能なペアを作り出すことは初めは驚くべきことのように思えます。脳がそれを受け入れると、誕生日問題はより理解しやすくなります。253のペアのすべてが誕生日の一致の可能性があるのです。

🎉 誕生日問題の理解

70人のグループでは2,415の可能なペアがあり、2人が同じ誕生日を持つ確率は99.9％以上です。誕生日問題は、同じ人が2回も宝くじに当たるなど、不可能に思えることが実際にはそれほど珍しくないことを数学で示す一例にすぎません。時には偶然は思っていたよりも起こりうるものです。

ハイライト:

• グループの大きさによって同じ誕生日の確率が変わる
• 数学者は一致の確率を計算するために確率のノーマッチを計算する
• グループの成長に伴い、ペアの数が増加する
• 誕生日問題は、思っていたよりも実際には起こりうることを示している

FAQ: Q: グループの大きさが大きいほど同じ誕生日の確率は高くなるのですか？ A: はい、グループの大きさが大きいほど、同じ誕生日の確率は高くなります。

Q: なぜ23人のグループで253の可能なペアがあるのですか？ A: グループの人数の増加に伴い、ペアの数は二乗に比例して増えます。

Q: 誕生日問題は他にもありますか？ A: はい、誕生日問題は一例ですが、数学では他にもさまざまな問題が存在します。

参考資料：

• 誕生日問題の詳細（Wikipedia）
• 組み合わせ論の基礎（Wikipedia）

Please note that the provided Japanese translation may not be perfect.