ITHT: Parte 9- A Categoria do Homotopy

Tabela de Conteúdos

1. Introdução
2. Construção do Homotopy 2.1 Definição de Categoria do Homotopy 2.2 Classes de Homotopia 2.3 Composição de Classes de Homotopia 2.4 Homotopia pré e pós composição
3. Teorema de Whitehead em Categorias de Modelos
4. Functorização do Homotopy 4.1 Função Gamma 4.2 Objetos em Categorias de Homotopia 4.3 Morfismos em Categorias de Homotopia
5. Universidade da Categoria de Homotopia 5.1 Função de Localização 5.2 Isomorfismos na Categoria de Homotopia 5.3 Categoria de Localização
6. Estrutura de Vibration e Co-Fibration 6.1 Subcategorias de Fibrin e Co-Fibrin 6.2 Sequências de Fibra Homotópica
7. Bijecção entre Hom e Pq(x, qy)
8. Comutative Squares na Categoria de Homotopia

Introdução

Em uma categoria de modelos, é possível isolar as partes relacionadas à homotopia do modelo. Essa isolamento é feito através da construção de uma categoria do homotopy. Neste artigo, exploraremos essa construção e suas propriedades, bem como a relação entre a categoria de homotopia e a categoria original de modelos.

Construção do Homotopy

Definição de Categoria do Homotopy

A categoria do homotopy, denotada por Host(C), é construída a partir de uma categoria de modelos C. Os objetos de Host(C) são os objetos de C que são fibrantes e cofibrantes, e os morfismos são classes de homotopia de morfismos de C. Essas classes de homotopia correspondem a classes de equivalência de morfismos, onde dois morfismos são equivalentes se podem ser transformados um no outro através de uma homotopia.

Classes de Homotopia

As classes de homotopia em Host(C) são definidas como classes de equivalência de morfismos de C. A composição de duas classes de homotopia é definida como a classe de homotopia da composição dos representantes. Essa composição é bem definida, pois a definição de homotopia não depende dos representantes escolhidos.

Homotopia pré e pós composição

Dado um morfismo f que representa uma classe de homotopia de um mapa de x para y, queremos mostrar que, se g e h são morfismos de y para z que estão na mesma classe de homotopia, então fg e fh também estão na mesma classe de homotopia. Isso é verdade porque a homotopia à direita e à esquerda coincidem em uma categoria de modelos. Portanto, é possível obter a homotopia desejada entre fg e fh através de um diagrama comutativo.

Teorema de Whitehead em Categorias de Modelos

O Teorema de Whitehead é uma generalização para categorias de modelos do Teorema de Whitehead em topologia. Ele afirma que uma equivalência fraca entre complexos CW implica em uma equivalência homotópica. Em outras palavras, se um morfismo f em C é uma equivalência fraca, então a classe de homotopia de f em Host(C) é um isomorfismo.

Functorização do Homotopy

Função Gamma

A função Gamma é um functor que mapeia os objetos da categoria original C para a categoria de homotopia Host(C). Através dessa função, cada objeto x em C é mapeado para um objeto em Host(C) chamado Pq(x), que é obtido a partir de uma fatorização do morfismo inicial de x em C. A função Gamma também mapeia os morfismos de C para morfismos de Host(C) de forma semelhante.

Objetos em Categorias de Homotopia

Os objetos em Host(C) são obtidos a partir da fatorização dos morfismos iniciais e terminais de C. Se um objeto x em C for fibrante, então o objeto correspondente em Host(C) será q(x), onde q é um morfismo de C que preserva a fibrância. Se x for co-fibrante, então o objeto correspondente em Host(C) será p(x), onde p é um morfismo de C que preserva a co-fibrância.

Morfismos em Categorias de Homotopia

Os morfismos em Host(C) são obtidos a partir dos morfismos de C e das fatorizações dos morfismos iniciais e terminais. A função Gamma preserva a composição de morfismos e as classes de homotopia. Portanto, a função Gamma é bem definida em morfismos de Host(C).

Universidade da Categoria de Homotopia

Função de Localização

A função de localização é um functor que mapeia a categoria original C para uma nova categoria chamada de categoria de localização. Essa categoria é obtida através da localização dos morfismos fracos na categoria original. A função de localização preserva as equivalências fracas e é universal com essa propriedade. Isso significa que, para qualquer outro functor que preserve as equivalências fracas, existe um functor único da categoria de localização para esse functor.

Isomorfismos na Categoria de Homotopia

Na categoria de homotopia, os isomorfismos são chamados de equivalências homotópicas. Portanto, o teorema de Whitehead em categorias de modelos implica que uma classe de homotopia em Host(C) é um isomorfismo se o morfismo correspondente em C for uma equivalência fraca. Essa propriedade é importante, pois na categoria de homotopia os morfismos fracos se tornam isomorfismos.

Categoria de Localização

A categoria de localização é uma categoria que força as equivalências fracas a se tornarem isomorfismos. No entanto, não está garantido que essa categoria existe para qualquer categoria de modelos. No caso das categorias de modelos, a categoria de homotopia é a categoria de localização da categoria original com relação às equivalências fracas.

Estrutura de Vibration e Co-Fibration

Subcategorias de Fibrin e Co-Fibrin

A partir da categoria de homotopia, é possível formar subcategorias que correspondem à categoria de fibrin e à categoria de co-fibrin da categoria original. Essas subcategorias herdam as equivalências fracas da categoria original e podem ser chamadas de categorias de fibrin e co-fibrin. Essas categorias possuem uma estrutura chamada de estrutura de vibration e co-fibration, que é uma generalização das fibrin e co-fibrin em categorias de modelos.

Sequências de Fibra Homotópica

Uma sequência de fibra homotópica é uma sequência de morfismos que se comporta de maneira similar a uma sequência exata em categorias abelianas. Essas sequências estão relacionadas à estrutura de vibration e co-fibration nas categorias de fibrin e co-fibrin. Em particular, a função Gamma preserva sequências de fibra homotópica.

Bijecção entre Hom e Pq(x, qy)

Em Host(C), a representação de um morfismo de x para qy é bijetiva com o conjunto de morfismos de x para y na categoria original C, módulo as equivalências fracas. Isso significa que existem correspondências naturais entre os morfismos em Host(C) e os morfismos em C, mesmo considerando apenas os objetos fibrantes e co-fibrantes. Essa bijeção é útil para estabelecer relações entre os morfismos nas duas categorias.

Comutative Squares na Categoria de Homotopia

Todo quadrado comutativo em Host(C) tem uma correspondência em C. Essa correspondência é feita através da função Gamma, que preserva as propriedades comutativas dos quadrados. No entanto, é importante ressaltar que os objetos em C podem não ser os mesmos objetos em Host(C). A correspondência é feita considerando apenas os morfismos e as propriedades comutativas, independente dos objetos específicos.

Artigo baseado no texto em inglês. Source: Texto em inglês