Невероятная математика дней рождения

Содержание

1. Задача с днями рождения
   • Почему наше интуитивное представление неправильно
2. Вероятность отсутствия совпадений
   • Рассчет вероятности отсутствия совпадений для пары людей
   • Рассчет вероятности отсутствия совпадений для группы из нескольких людей
3. Рост вероятности совпадений с увеличением группы
   • Расчет количества возможных пар в группе
4. Вероятность совпадений в случае большой группы
5. Примеры математического решения предположительно невозможных ситуаций

Задача с днями рождения

Представьте себе группу людей. Какой должна быть размер группы, чтобы было больше 50% шанса, что двое людей в группе имеют одинаковые дни рождения? Предположим, что у группы людей нет близнецов, что каждый день рождения имеет одинаковую вероятность, и что високосные года не учитываются. Мы можем использовать комбинаторику для рассчета вероятности совпадения дней рождения.

Вероятность отсутствия совпадений

Первый шаг - перевернуть задачу. Вместо того, чтобы вычислять вероятность совпадения, проще рассчитать вероятность отсутствия совпадений. Каким образом это помогает? Возможны два варианта: есть совпадение дней рождения в группе или его нет. Их вероятности должны суммироваться до 100%. То есть, мы можем найти вероятность совпадения, вычтя вероятность отсутствия совпадений из 100%.

Давайте начнем с рассчета вероятности отсутствия совпадений для пары людей. Для одного человека есть 365 возможных дней рождения. Таким образом, для второго человека остается только 364 возможных дня рождения, так как один день уже занят первым человеком. Вероятность разных дней рождения у двух людей составляет 364 из 365, примерно 99,7%.

Если мы добавим третьего человека, вероятность того, что у него будет уникальный день рождения в этой маленькой группе, составляет 363 из 365, так как уже есть две даты рождения, занятые первыми двумя. Вероятность для каждого последующего человека будет уменьшаться. Например, для человека D вероятность будет составлять 362 из 365, и так далее, до W с вероятностью 343 из 365.

Перемножим все эти значения вместе, и мы получим вероятность того, что ни у кого нет совпадающего дня рождения. Это составит около 0,4927 или 49,27%. Когда мы вычитаем это значение из 100%, мы получаем шанс в 50,73% наличия какого-либо совпадения дней рождения, преодолевая шансы.

Рост вероятности совпадений с увеличением группы

Ключ к такой высокой вероятности совпадения в относительно небольшой группе заключается в удивительно большом количестве возможных пар. По мере роста группы, количество возможных комбинаций увеличивается гораздо быстрее. Например, группа из пяти человек имеет десять возможных пар. Каждый из пяти человек может образовать пару с любым из остальных четырех. Половина этих комбинаций являются избыточными, так как пара из Person A и Person B аналогична паре из Person B и Person A, поэтому делим на два. По той же логике, группа из десяти человек имеет 45 пар, а группа из 23 человек - 253. Количество пар растет квадратично, то есть пропорционально квадрату количества людей в группе.

К сожалению, наши мозги плохо справляются с интуитивным пониманием нелинейных функций. Поэтому кажется невероятным, что 23 человека могут образовать 253 возможных пары. Когда наши мозги это принимают, задача с днями рождения становится более понятной. Каждая из этих 253 пар представляет собой шанс на совпадение дней рождения.

Таким же образом, в группе из 70 человек имеется 2 415 возможных пар, и вероятность того, что два человека имеют одинаковые дни рождения, превышает 99,9%. Задача с днями рождения – только один пример, когда математика может показать, что вещи, которые кажутся невозможными, на самом деле вполне вероятны. Иногда совпадения не так случайны, как кажутся.

Преимущества:

• Четкая математическая модель для рассчета вероятности
• Объяснение научных принципов

Недостатки:

• Усложненное понимание для людей без математического образования

Заключение:

Расчет вероятности совпадения дней рождения в группе людей является интересным примером, показывающим, что интуиция не всегда соответствует действительности. Используя комбинаторику, мы можем вычислить вероятность совпадения и понять, что количество возможных пар растет экспоненциально с увеличением группы. Этот пример также демонстрирует, что математика может помочь объяснить явления, которые кажутся невероятными. Интуиция может играть злые шутки с нами, но знание и понимание научных принципов позволяют нам видеть мир более объективно и точно.

FAQ

Q: Почему вероятность совпадения дней рождения так высока в группе из 23 человек?\ A: Вероятность совпадения в группе из 23 человек так высока из-за большого количества возможных пар. По мере увеличения группы, количество пар растет квадратично, что приводит к увеличению вероятности совпадения.

Q: Какая влияние имеет количество дней в году на вероятность совпадения дней рождения?\ A: Количество дней в году влияет на вероятность совпадения дней рождения, так как ограничивает количество возможных комбинаций дней рождения. Чем больше дней в году, тем больше возможных комбинаций и, следовательно, выше вероятность совпадения.

Q: Что можно сделать, чтобы уменьшить вероятность совпадения дней рождения в группе?\ A: Чтобы уменьшить вероятность совпадения, можно увеличить количество возможных дней рождения или уменьшить размер группы. Но даже с небольшой группой людей вероятность совпадения остается достаточно высокой из-за экспоненциального роста количества пар.