Основы гомотопической категории

Содержание

1. Введение
2. Понятие гомотопической категории
3. Факторизация слабых эквивалентностей
4. Категория фибраций и категория кофибраций
5. Построение гомотопической категории
6. Локализация категории по слабым эквивалентностям
7. Гомотопические эквивалентности
8. Теорема Уайтхеда для модельных категорий
9. Функция локализации
10. Универсальность локализации
11. Категория слабых эквивалентностей
12. Фильтрация категории гомотопий
13. Квадраты коммутации в гомотопической категории
14. Заключение

Введение

В данной статье рассматривается понятие гомотопической категории в контексте модельных категорий. Будет представлено определение и свойства гомотопической категории, а также приведены основные результаты и теоремы, связанные с этой конструкцией.

Понятие гомотопической категории

В модельных категориях гомотопическая категория получается путем факторизации слабых эквивалентностей. Конструкция гомотопической категории заключается в отождествлении гомотопически эквивалентных морфизмов и получении нового класса эквивалентности морфизмов.

Факторизация слабых эквивалентностей

В модельных категориях слабые эквивалентности факторизуются как аклинные кофибрации, за которыми следуют аклинные фибрации. Эта факторизация позволяет получить гомотопическую категорию, в которой слабые эквивалентности становятся изоморфизмами.

Категория фибраций и категория кофибраций

Категории фибраций и кофибраций - это подкатегории модельной категории, состоящие из фибраций и кофибраций соответственно. В этих подкатегориях определены дополнительные структуры и аксиомы, которые позволяют характеризовать свойства фибраций и кофибраций.

Построение гомотопической категории

Гомотопическая категория построена путем ограничения объектов на фибриновые и кофибриновые объекты и перехода от морфизмов к гомотопическим классам морфизмов. Эта конструкция позволяет рассматривать слабые эквивалентности как изоморфизмы в гомотопической категории.

Локализация категории по слабым эквивалентностям

Локализация категории - это процесс, позволяющий перейти от исходной категории к новой категории, в которой слабые эквивалентности становятся изоморфизмами. Локализация категории по слабым эквивалентностям является примером такой конструкции.

Гомотопические эквивалентности

Гомотопические эквивалентности - это отношение между объектами или морфизмами, которое указывает на их гомотопическую эквивалентность. Они являются важными понятиями в гомотопической категории и играют ключевую роль в ее конструкции и свойствах.

Теорема Уайтхеда для модельных категорий

Теорема Уайтхеда для модельных категорий утверждает, что слабая эквивалентность между CW-комплексами приводит к гомотопической эквивалентности. Этот результат можно обобщить на модельные категории, что делает его важным инструментом в изучении гомотопических структур.

Функция локализации

Функция локализации - это функтор, который переводит объекты и морфизмы из исходной категории в локализованную категорию. Функция локализации играет ключевую роль в построении гомотопической категории и связывает исходную категорию с ее локализацией.

Универсальность локализации

Локализация категории является универсальной конструкцией, так как она имеет свойство, что для любого другого функтора из исходной категории в другую категорию, который переводит слабые эквивалентности в изоморфизмы, существует уникальный функтор из локализованной категории, который факторизует данный функтор.

Категория слабых эквивалентностей

Категория слабых эквивалентностей - это подкатегория исходной категории, состоящая из слабых эквивалентностей. В этой категории слабые эквивалентности рассматриваются как изоморфизмы, что позволяет изучать свойства слабых эквивалентностей в отдельности.

Фильтрация категории гомотопий

Фильтрация категории гомотопий - это процесс разбиения категории на фильтры, которые уточняют структуру и отношения между объектами и морфизмами. Фильтрация категории гомотопий играет важную роль в анализе и исследовании гомотопических структур и их свойств.

Квадраты коммутации в гомотопической категории

Квадраты коммутации в гомотопической категории - это особый класс коммутативных диаграмм, в которых морфизмы коммутируют не только в модельной категории, но и в ее гомотопической категории. Квадраты коммутации играют важную роль в изучении свойств гомотопической категории и ее отношений с модельной категорией.

Заключение

В данной статье мы рассмотрели основные понятия и результаты, связанные с гомотопической категорией в модельных категориях. Мы изучили процесс построения гомотопической категории, локализацию категории по слабым эквивалентностям, а также свойства и связи с другими конструкциями в теории модельных категорий.