Введение в модельные категории и гомотопические последовательности

Содержание

1. Введение
2. Определение модельной категории
3. Факторизация слабой эквивалентности
4. Категория гомотопов
5. Теорема Уайтхеда и локализация модельных категорий
6. Категории вибраций и кофибраций
7. Категория слабых эквивалентностей
8. Подкатегории для фибрационных и кофибрационных объектов
9. Функтор локализации
10. Гомотопные последовательности и их свойства

Введение

В модельной категории рассматриваются объекты и морфизмы, которые позволяют изучать гомотопическую эквивалентность между объектами. В этой статье мы рассмотрим основные концепции и результаты, связанные с модельными категориями.

Определение модельной категории

Модельная категория - это категория с некоторыми дополнительными структурами, которые позволяют определить гомотопическую эквивалентность. В модельной категории определены три класса морфизмов: фибрации, кофибрации и слабые эквивалентности.

Фибрации

Фибрация - это морфизм с правым поднятием, то есть для любого коммутативного квадрата, в котором верхний морфизм является фибрацией, существует морфизм, который поднимает этот квадрат.

Кофибрации

Кофибрация - это морфизм с левым поднятием, то есть для любого коммутативного квадрата, в котором нижний морфизм является кофибрацией, существует морфизм, который поднимает этот квадрат.

Слабые эквивалентности

Слабая эквивалентность - это морфизм, который индуцирует биекцию на множестве гомотопических классов морфизмов.

Факторизация слабой эквивалентности

В модельной категории каждый морфизм факторизуется как композиция слабой эквивалентности и фибрации:

Категория гомотопов

Каждой модельной категории можно сопоставить категорию гомотопов, где объекты - это объекты модельной категории, а морфизмы - это гомотопические классы морфизмов.

Композиция гомотопов

Композиция гомотопов определяется как гомотопический класс композиции морфизмов.

Уравнения гомотопов

Если два гомотопа эквивалентны, то они являются одним и тем же морфизмом в категории гомотопов.

Гомотопическая эквивалентность

Два объекта модельной категории называются гомотопически эквивалентными, если между ними существует гомотопический изоморфизм.

Теорема Уайтхеда и локализация модельных категорий

Теорема Уайтхеда утверждает, что слабая эквивалентность между CW-комплексами приводит к гомотопической эквивалентности. Это утверждение можно обобщить на модельные категории.

Локализация модельных категорий

Локализация модельной категории - это новая категория, в которую включаются только слабые эквивалентности. Локализация является универсальной в том смысле, что для любой другой категории, в которой слабые эквивалентности становятся изоморфизмами, существует функтор, который факторизирует вложение в локализацию.

Категории вибраций и кофибраций

Категория фибраций - это категория, в которой все морфизмы являются фибрациями. Категория кофибраций - это категория, в которой все морфизмы являются кофибрациями.

Категория слабых эквивалентностей

Категория слабых эквивалентностей - это подкатегория модельной категории, в которой все морфизмы являются слабыми эквивалентностями. Эта категория играет важную роль в теории гомотопических категорий.

Подкатегории для фибрационных и кофибрационных объектов

Модельная категория может быть разделена на две подкатегории: подкатегорию фибрационных объектов и подкатегорию кофибрационных объектов. Фибрационная подкатегория состоит из объектов, которые являются одновременно фибрациями и кофибрациями. Кофибрационная подкатегория состоит из объектов, которые являются только кофибрациями.

Функтор локализации

Функтор локализации - это функтор, который переводит объекты и морфизмы из модельной категории в локализацию. Функтор локализации сохраняет слабые эквивалентности и является естественным образом для модельной категории.

Гомотопные последовательности и их свойства

Гомотопная последовательность - это последовательность морфизмов, в которой каждый морфизм является гомотопическим эквивалентом. Гомотопные последовательности играют важную роль в исследовании гомотопических свойств моделей.

Заключение

Модельные категории являются важным инструментом в теории гомотопных категорий. Они позволяют изучать гомотопическую эквивалентность между объектами и строить гомотопные последовательности. Локализация модельной категории позволяет устроить категорию, в которой слабые эквивалентности становятся изоморфизмами. Эти концепции широко применяются в различных областях математики и теоретической физики.

Ресурсы

• Wikipedia - Model Category
• nLab - Model Category
• AMS - Introduction to Model Categories
• Stack Exchange - Model Categories