Homotopi Kategorisi: ITHT'nin 9. Bölümü

İçindekiler

1. Giriş
2. Model Kategori Nedir?
3. Homotopi ve Homotopi Sınıfları
4. Model Kategorideki Homotopik Kategori
   • 4.1. Homotopik Kategorinin Oluşturulması
   • 4.2. İzomorfizmalar ve Eşdeğerlilikler
   • 4.3. Whitehead Teoremi ve Fibrasyonlar
5. Model Kategoride Homotopik Eşdeğerlikler
   • 5.1. Zayıf Eşdeğerliklerin İzomorfizmalara Dönüşmesi
   • 5.2. Homotopik Eşdeğerliklerin Fonksiyonel Temsili
6. Model Kategoride Localisation
7. Kategoriye Özgü Homotopik Dizi
8. Özet
9. Kaynaklar

Giriş 👋

Model kategoriler, homotopi teorisi ve kategori teorisi arasında önemli bir bağlantıyı temsil eder. Bu makalede, model kategoriye ve bu kategorideki homotopik kategoriye odaklanacağız. İlk olarak, model kategori kavramını tanımlayacağız ve ardından homotopi ve homotopik sınıflar hakkında bilgi vereceğiz. Daha sonra, homotopik kategorinin nasıl oluşturulduğunu ve homotopik eşdeğerliklerin izomorfizmalara dönüşümünü ele alacağız. Ayrıca, model kategoride lokalizasyonun nasıl gerçekleştirildiğini ve kategoriye özgü homotopik dizilerin ne olduğunu inceleyeceğiz.

Model Kategori Nedir?

Bir model kategori, objeleri, morfizmaları ve kompozisyonuyla bir kategoriye benzerdir. Ancak, model kategoride belirli bir özellik vardır: zayıf eşdeğerliklerin varlığı. Zayıf eşdeğerlikler, homotopi teorisinde önemli bir rol oynar ve morfizmaların homotopi sınıflarını tanımlar. Model kategoride, zayıf eşdeğerliklerin bazı özelliklere sahip olması beklenir. Örneğin, iki zayıf eşdeğerlik aynı morfizma sınıfına ait olmalıdır ve zayıf eşdeğerliklerin kompozisyonu değişmez olmalıdır. Model kategoriler, matematikte birçok farklı alanın çalışmalarında kullanılır ve homotopi teorisi, cebir ve topoloji arasında bir köprü görevi görür.

Homotopi ve Homotopi Sınıfları

Homotopi, birbirine bağlı morfizmaların birbirine dönüşebilir olduğunu ifade eder. Model kategoride, homotopi sınıfları, zayıf eşdeğerliklerle tanımlanır. Bir homotopi sınıfı, aynı homotopiye sahip morfizmaların oluşturduğu bir sınıftır. İki morfizmanın homotopik olarak eşit olması, aynı homotopi sınıfına ait olduklarını gösterir. Homotopi sınıfları, model kategoride dikkate alınan temel yapı taşlarıdır ve homotopik eşdeğerlikleri tanımlamak için kullanılır.

Model Kategorideki Homotopik Kategori

Model kategorideki homotopik kategori, model kategorinin homotopik eşdeğerliklere dayandırılarak oluşturulan bir kategoridir. Bu kategori, model kategorinin belirli bir özelliğini vurgular: zayıf eşdeğerliklerin izomorfizmalara dönüşmesini sağlar. Homotopik kategorinin tanımı ve özellikleri şunlardır:

4.1. Homotopik Kategorinin Oluşturulması

Model kategorideki homotopik kategori, model kategoriden zayıf eşdeğerliklerin izomorfizmalara dönüşmesiyle elde edilir. Bu dönüşüm, her objenin üzerinde gerçekleştirilir ve zayıf eşdeğerlikleri izomorfizmalara dönüştürür. Homotopik kategorideki objeler ve morfizmalar, model kategorideki homotopi sınıflarına karşılık gelir. Yani, homotopik kategorideki her obje, model kategorideki homotopi sınıfını temsil eder. Bu dönüşüm, zayıf eşdeğerliklerin izomorfizmalara dönüşümünü sağlar.

4.2. İzomorfizmalar ve Eşdeğerlilikler

Homotopik kategorideki izomorfizmalar, homotopi eşdeğerliliklerine karşılık gelir. Yani, izomorfizmalar homotopik eşdeğerlikler olarak kabul edilir. Bu nedenle, homotopik kategorideki izomorfizmalar, izomorfik olmayan objeler arasındaki eşdeğerlikleri temsil eder. İzomorfizmalar, homotopik kategorideki morfizma sınıflarını tanımlar ve homotopi teorisinde önemli bir rol oynar.

4.3. Whitehead Teoremi ve Fibrasyonlar

Whitehead teoremi, model kategorideki homotopik eşdeğerliklerin, izomorfizmalara dönüşeceğini belirtir. Özellikle, CW kompleksleri üzerindeki Whitehead teoremi, CW kompleksleri için homotopik eşdeğerliklerin homotopi eşdeğerliklerine dönüşeceğini gösterir. Bu teoremin model kategoriye genellenmiş bir versiyonu vardır ve fibrasyonlarla ilgilidir. CW kompleksleri hem vibrasyon hem de kofibrasyon objeleri olduğu için, Whitehead teoremi model kategoride homotopik eşdeğerliklerin izomorfizmalara dönüşmesini sağlamaktadır.

Model Kategoride Homotopik Eşdeğerlikler

Model kategorideki homotopik eşdeğerlikler, zayıf eşdeğerliklerin izomorfizmalara dönüşmesini temsil eder. Bu eşdeğerlikler, model kategorinin özelliğini vurgular: zayıf eşdeğerliklerin izomorfizmalara dönüşmesini sağlar.

5.1. Zayıf Eşdeğerliklerin İzomorfizmalara Dönüşmesi

Model kategorideki zayıf eşdeğerliklerin izomorfizmalara dönüşmesi, homotopik kategorinin temel özelliğini temsil eder. Bu dönüşüm, zayıf eşdeğerliklerin izomorfizmalara dönüşmesini sağlar ve homotopik kategorinin tanımını oluşturur. Bu dönüşüm sayesinde, zayıf eşdeğerliklerin izomorfizmalara dönüşmesi garantilenir ve homotopik kategorideki izomorfizmaların doğru şekilde temsil edilmesi sağlanır.

5.2. Homotopik Eşdeğerliklerin Fonksiyonel Temsili

Homotopik eşdeğerliklerin fonksiyonel temsili, homotopik kategorideki morfizmaların nasıl temsil edildiğini açıklar. Bu temsil, morfizmalar arasındaki homotopiye dayanır ve homotopik eşdeğerlikleri düzgün bir şekilde ifade etmek için kullanılır. Homotopik eşdeğerliklerin fonksiyonel temsili, model kategorideki homotopik eşdeğerlikleri modellemek ve anlamak için önemlidir.

Model Kategoride Localisation

Model kategoride lokalizasyon, zayıf eşdeğerliklerin izomorfizmalara dönüştürülmesidir. Bu işlem, model kategorinin homotopik kategorisiyle aynıdır. Yani, model kategorideki her zayıf eşdeğerlik, homotopik kategoride bir izomorfizmaya dönüşür. Bu lokalizasyon işlemi, zayıf eşdeğerliklerin izomorfizmalara dönüşmesini sağlar ve homotopik kategorinin oluşturulmasını sağlar. Bu lokalizasyon işlemi, model kategorinin temel özelliklerini korur ve homotopi teorisindeki önemli kavramları modellemek için kullanılır.

Kategoriye Özgü Homotopik Dizi

Kategoriye özgü homotopik dizi, bir model kategoride homotopi dizi olarak adlandırılır ve homotopik eşdeğerlikleri temsil eder. Bu dizi, homotopik kategoriden farklıdır çünkü objeler ve morfizmalar arasındaki ilişkiyi korur.

Bu dizi, homotopik eşdeğerliklerin izomorfizmalara dönüştürülmesini gösterir ve model kategorideki homotopik eşdeğerlikleri tanımlar. Kategoriye özgü homotopik dizi, model kategorinin bazı özelliklerini korur ve homotopi teorisindeki önemli kavramları modellemek için kullanılır.

Özet

Bu makalede, model kategoriler ve homotopik kategoriler arasındaki bağı inceledik. Model kategorinin homotopik kategoriye dönüşümü ve homotopik eşdeğerliklerin izomorfizmalara dönüşümü gibi konuları ele aldık. Ayrıca, homotopik kategorinin lokalizasyonunu, kategoriye özgü homotopik diziyi ve diğer ilgili kavramları inceledik. Homotopi teorisi ve kategori teorisi arasındaki bu bağlantı, matematikteki birçok farklı alanda önemli uygulamalara sahiptir ve homotopi teorisinin anlaşılmasını kolaylaştırır.

Kaynaklar

1. J. Peter May, "A Concise Course in Algebraic Topology"
2. Mark Hovey, "Model Categories"
3. Emily Riehl, "Category Theory in Context"